MATEMANIJA

Temperatura [inlmath]T[/inlmath] (u [inlmath]^\circ C[/inlmath]) u stakleniku [inlmath]t[/inlmath] sati nakon početka sumraka dana je formulom [inlmath]T(t)=\frac{1}{4}t^2-5t+30,\quad 0\le t\le 12[/inlmath].
Uzima se da sumrak počinje u [inlmath]19:00[/inlmath] sati.

U koliko je sati temperatura bila minimalna?

Ovaj zadatak imam rješen, ali mi nije jasna logika ove metode;
Minimalna temperatura bit će po isteku nekog vremena [inlmath]t[/inlmath]
[inlmath]-\frac{b}{2a}=-\frac{-5}{2\cdot\frac{1}{4}}=10[/inlmath] (sati)
Zašto!?

I onda bi očito traženi odgovor bia [inlmath]19\mbox{ h}+10\mbox{ h}=05:00\mbox{ h}[/inlmath]

Kvadratna funkcija [inlmath]ax^2+bx+c[/inlmath] ima jedan ekstremum. Koeficijent uz kvadratni član određuje da li je to minimum ili maksimum. Ovde je taj koeficijent pozitivan, pa se radi o minimumu.
Kako doći do tačke gde je minimum? Nađemo prvi izvod, i izjednačimo ga sa nulom. Dobijamo [inlmath]2ax+b=0[/inlmath], tj. [inlmath]x=-\frac{b}{2a}[/inlmath]
Ako ne znaš izvode, evo još jedne mogućnosti:
[dispmath]ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}\right)[/dispmath]
Ovo je minimalno ako je [inlmath]x+\frac{b}{2a}=0[/inlmath], i odatle sledi da formula...
Ovde je dodatno definisan domen funkcije (ova logika je važila za slučaj da domen obuhvata sve realne brojeve).
Pošto primenom formule [inlmath]x=-\frac{b}{2a}[/inlmath] dobijaš vrednost koja pripada i ovako suženom domenu, to je onda zaista traženi minimum.

Dodao bih još jedan način nalaženja koordinata ekstrema kvadratne funkcije (od viška glava ne boli, zar ne )

Posmatrajmo grafik neke kvadratne funkcije, za slučaj da je [inlmath]a[/inlmath] (koeficijent uz kvadratni član) veći od nule i da postoje realne nule, tj. da funkcija seče [inlmath]x[/inlmath]-osu:


Na grafiku su obeležene koordinate svih karakterističnih tačaka.
Kvadratna funkcija je simetrična u odnosu na vertikalni pravac koji sadrži teme, tj. ekstrem (na grafiku obeležen svetloplavom isprekidanom linijom).
Odatle vidimo da će x-koordinata ekstrema biti jednaka aritmetičkoj sredini x-koordinata nula ove funkcije.

[inlmath]x[/inlmath]-koordinate nula funkcije su
[dispmath]x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\quad x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/dispmath]
pa će [inlmath]x[/inlmath]-koordinata ekstrema biti jednaka njihovoj aritmetičkoj sredini, tj.
[dispmath]x_T=\frac{x_1+x_2}{2}=\cdots=-\frac{b}{2a}[/dispmath]
[inlmath]y[/inlmath]-koordinata ekstrema u ovom konkretnom zadatku nije potrebna, ali bi koristila kada bi se tražilo kolika je vrednost minimalne temperature. [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu ekstrema nalazimo tako što u formuli kvadratne funkcije [inlmath]ax^2+bx+c[/inlmath] umesto [inlmath]x[/inlmath] uvrstimo [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu ekstrema:
[dispmath]y_T=ax_T^2+bx_T+c=\cdots=\frac{4ac-b^2}{4a}[/dispmath]
Ne bi bilo loše da proveriš u školi, ali ja mislim da se od vas očekuje da obe ove formule za koordinate ekstrema znate napamet...