MATEMANIJA

Pre nekoliko dana sam ovde naisao na zadatak sa prijemnog koji nisam znao da uradim. Uz pomoc Daniela resio sam zadatak ali postavka tog zadatka je pogresna pa je Daniel dobio resenje u skladu sa postavkom. Ja nudim tacnu postavku i resenje zadatka, ukoliko buducim polagacima ispita treba pomoc.
Zadatak glasi: Jednacina [inlmath]x^2-2(m-1)x+m+5=0[/inlmath], gde je [inlmath]m[/inlmath] realan parametar, ima tacno jedno resenje na intervalu [inlmath](-2,3)[/inlmath] ako i samo ako [inlmath]m[/inlmath] pripada?

Koreni kvadratne jednacine su:
[dispmath]x_{1,2}={\cancel2(m-1)\pm\sqrt{\cancel4(m-1)^2-\cancel4(m+5)}\over\cancel2}[/dispmath][dispmath]x_1=m-1+\sqrt{m^2-3m-4},\qquad x_2=m-1-\sqrt{m^2-3m-4}[/dispmath]
Uslov da tacno jedno resenje pripada intervalu [inlmath](-2,3)[/inlmath] jeste da ili [inlmath]x_1[/inlmath] pripada datom intervalu ili [inlmath]x_2[/inlmath].

Trazimo vrednost parametra [inlmath]m[/inlmath] kada je [inlmath]-2<x_1<3[/inlmath]:
[dispmath]-2<m-1+\sqrt{m^2-3m-4}<3[/dispmath][dispmath]\sqrt{m^2-3m-4}>-m-1\quad\land\quad\sqrt{m^2-3m-4}<4-m[/dispmath]
Da bi [inlmath]\sqrt{m^2-3m-4}[/inlmath] bilo vece od [inlmath]-m-1[/inlmath] imamo 2 slucaja:

[inlmath]I[/inlmath] slucaj:
[dispmath]m^2-3m-4\ge0\quad\land\quad -m-1<0[/dispmath][dispmath](m-4)(m+1)\ge0\quad\land\quad m+1>0[/dispmath][dispmath]m\in(-\infty,-1]\cup[4,+\infty)\quad\land\quad m\in(-1,+\infty)[/dispmath]
odakle sledi
[dispmath]m\in[4,+\infty)[/dispmath]
[inlmath]II[/inlmath] slucaj:
[dispmath]\underbrace{-m-1>0\quad\land\quad (m-4)(m+1)\ge0}\quad\land\quad\cancel{m^2}-3m-4>\cancel{m^2}+2m+1[/dispmath][dispmath]m\in(-\infty,-1)\quad\land\quad5m<-5[/dispmath]
odakle sledi
[dispmath]m\in(-\infty,-1)[/dispmath]
Unija resenja [inlmath]I[/inlmath] i [inlmath]II[/inlmath] slucaja je:
[dispmath]m\in(-\infty,-1)\cup[4,+\infty)\quad(1)[/dispmath]
Sada resavamo slucaj kada je [inlmath]\sqrt{m^2-3m-4}[/inlmath] manje od [inlmath]4-m[/inlmath]:
[dispmath]4-m>0\quad\land\quad m^2-3m-4\ge0\quad\land\quad\cancel{m^2}-3m-4<16-8m+\cancel{m^2}[/dispmath][dispmath]\underbrace{m<4\quad\land\quad m\in(-\infty,-1]\cup[4,+\infty)}\quad\land\quad5m<20[/dispmath][dispmath]m\in(-\infty,-1]\quad\land\quad m<4[/dispmath]
odakle sledi
[dispmath]m\in(-\infty,-1]\quad(2)[/dispmath]
Presek resenja [inlmath](1)[/inlmath] i [inlmath](2)[/inlmath] je:
[dispmath]m\in(\infty,-1)\quad(3)[/dispmath]
Isti postupak primenjujemo kada budemo trazili vrednost parametra [inlmath]m[/inlmath] kada je [inlmath]-2<x_2<3[/inlmath].
Iz ovog sistema dobijamo resenje:
[dispmath]m\in(4,+\infty)\quad(4)[/dispmath]
Na kraju vrednost parametra [inlmath]m[/inlmath] je unija [inlmath](3)[/inlmath] i [inlmath](4)[/inlmath]:
[dispmath]m\in(-\infty,-1)\cup(4,+\infty),[/dispmath]
sto je i resenje datog zadatka.

Puno ti hvala, Kalijume, na tačnom tekstu zadatka, kao i na rešenju.

Inače, u pitanju je, najverovatnije, ovaj zadatak.

Imam samo jednu primedbu na tvoj postupak – što, kada si radio slučaj [inlmath]-2<x_1<3[/inlmath], nisi istovremeno postavio i uslov [inlmath]x_2\notin\left(-2,3\right)[/inlmath], tj. [inlmath]x_2\le-2\;\lor\;x_2\ge3[/inlmath], koji tada mora biti zadovoljen – tj. u intervalu [inlmath]\left(-2,3\right)[/inlmath] mora biti samo jedno rešenje. Ovde su brojne vrednosti bile takve da si sasvim slučajno dobio ispravno rešenje i bez tog uslova, ali u sličnom zadatku, s nekim drugim brojnim vrednostima, izostavljanje tog uslova bi moglo dovesti do pogrešnog rezultata.

---

Pokazao bih i onaj način u kojem se postavi uslov da vrednost funkcije u donjoj i gornjoj granici intervala ima različite predznake, to jest [inlmath]f\left(-2\right)\cdot f\left(3\right)<0[/inlmath].
[dispmath]\left[\left(-2\right)^2-2\left(m-1\right)\left(-2\right)+m+5\right]\cdot\left[3^2-2\left(m-1\right)\cdot3+m+5\right]<0[/dispmath][dispmath]\left(5m+5\right)\left(20-5m\right)<0[/dispmath][dispmath]\left(m+1\right)\left(4-m\right)<0[/dispmath][dispmath]m\in\left(-\infty,-1\right)\cup\left(4,+\infty\right)[/dispmath]
Međutim, ovime nisu obuhvaćeni granični slučajevi, kada je jedno rešenje jednačine unutar datog intervala, a drugo rešenje na nekoj od granica intervala, pa samim tim ne pripada intervalu, pošto je interval otvoren, a kod otvorenog intervala granice tog intervala ne pripadaju samom intervalu.

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]x_1\in\left(-2,3\right),\;x_2=-2[/inlmath]
[dispmath]x_2=m-1-\sqrt{m^2-3m-4}=-2[/dispmath][dispmath]\sqrt{m^2-3m-4}=m+1[/dispmath][dispmath]m+1\ge0\quad\land\quad\cancel{m^2}-3m-4=\cancel{m^2}+2m+1[/dispmath][dispmath]m\ge-1\quad\land\quad5m=-5[/dispmath][dispmath]m\ge-1\quad\land\quad m=-1[/dispmath][dispmath]m=-1[/dispmath]
Uvrstimo tu vrednost u izraz za [inlmath]x_1[/inlmath] i, ako se za [inlmath]x_1[/inlmath] dobije vrednost unutar intervala [inlmath]\left(-2,3\right)[/inlmath], tada i tu vrednost [inlmath]m[/inlmath] dodajemo konačnom rešenju.
[dispmath]x_1=m-1+\sqrt{m^2-3m-4}=-1-1+\sqrt{\left(-1\right)^2-3\left(-1\right)-4}=-2[/dispmath]
Ali, pošto [inlmath]-2[/inlmath] ne pripada intervalu [inlmath]\left(-2,3\right)[/inlmath], onda [inlmath]m=-1[/inlmath] ne dodajemo konačnom rešenju.

[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]x_2\in\left(-2,3\right),\;x_1=3[/inlmath]
[dispmath]x_1=m-1+\sqrt{m^2-3m-4}=3[/dispmath][dispmath]\sqrt{m^2-3m-4}=4-m[/dispmath][dispmath]4-m\ge0\quad\land\quad\cancel{m^2}-3m-4=16-8m+\cancel{m^2}[/dispmath][dispmath]m\le4\quad\land\quad5m=20[/dispmath][dispmath]m\le4\quad\land\quad m=4[/dispmath][dispmath]m=4[/dispmath]
Uvrstimo u izraz za [inlmath]x_2[/inlmath]:
[dispmath]x_2=m-1-\sqrt{m^2-3m-4}=4-1-\sqrt{4^2-3\cdot4-4}=3[/dispmath]
Ni ova vrednost ne pripada intervalu [inlmath]\left(-2,3\right)[/inlmath], pa ni [inlmath]m=4[/inlmath] ne dodajemo konačnom rešenju.

Prema tome, kao konačno rešenje ostaje
[dispmath]\enclose{box}{m\in\left(-\infty,-1\right)\cup\left(4,+\infty\right)}[/dispmath]

---

Za prethodna dva slučaja se, zapravo, dobilo da je tada [inlmath]x_1=x_2[/inlmath], tj. da je tada diskriminanta jednaka nuli, pa jednačina ima jedno dvostruko rešenje. Do toga bismo mogli doći i izjednačavanjem diskriminante s nulom:
[dispmath]D=4\left(m-1\right)^2-4\left(m+5\right)=0[/dispmath][dispmath]\cancel4\left(m-1\right)^2=\cancel4\left(m+5\right)[/dispmath][dispmath]m^2-2m+1=m+5[/dispmath][dispmath]m^2-3m-4=0[/dispmath][dispmath]m_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\frac{3\pm5}{2}[/dispmath][dispmath]m_1=-1,\quad m_2=4[/dispmath]
[inlmath]m=-1\quad\Rightarrow\quad x_1=x_2=-2\quad\Rightarrow\quad[/inlmath]ne pripada intervalu [inlmath]\left(-2,3\right)[/inlmath];
[inlmath]m=4\quad\Rightarrow\quad x_1=x_2=3\quad\Rightarrow\quad[/inlmath]ne pripada intervalu [inlmath]\left(-2,3\right)[/inlmath].

Hah. Tacno sam prevideo slucaj da kada [inlmath]x_1[/inlmath] pripada intervalu onda [inlmath]x_2[/inlmath] treba iskljuciti iz tog intervala i obrnuto. Hvala Daniele na ispravci. E da, ovaj drugi nacin resavanja sam video u zbirci za prijemni [inlmath](4^+)[/inlmath] ali mi nije bio jasan postupak posto su oni u zbirci dosta oskudno to opisali. Samo uslov da [inlmath]f\left(-2\right)\cdot f\left(3\right)<0[/inlmath] i resenje zadatka. Ima ovakvih zadataka jos, a evo jos jednog gde sam primenjivao [inlmath]I[/inlmath] nacin resavanja i dobio sam tacno resenje ali uz dosta racunanja. Zadatak je: Ako su oba korena jednacine [inlmath]x^2+mx+1=0,\;m\in\mathbb{R}[/inlmath] iz intervala [inlmath](0,2)[/inlmath], tada je parametar [inlmath]m[/inlmath] iz intervala? Resenje je [inlmath]m\in\left(-{5\over2},-2\right][/inlmath].
Oni su u resenju stavili da je [inlmath]D\ge0[/inlmath], i uslove da je [inlmath]f(0)>0[/inlmath] i [inlmath]f(2)>0[/inlmath]. Nije mi jasno zasto. Pokusavao sam to negde da pronadjem ali ovakve tipove zadataka nisam radio u skoli.

Kalijum je napisao:E da, ovaj drugi nacin resavanja sam video u zbirci za prijemni [inlmath](4^+)[/inlmath] ali mi nije bio jasan postupak posto su oni u zbirci dosta oskudno to opisali. Samo uslov da [inlmath]f\left(-2\right)\cdot f\left(3\right)<0[/inlmath] i resenje zadatka.

Štos je u tome da, zbog oblika parabole, svaka nula parabole predstavlja granicu između intervala u kome je kvadratna funkcija pozitivna i intervala u kome je kvadratna funkcija negativna. Ako se u nekom intervalu nalazi tačno jedna nula, onda će granice tog intervala pripadati intervalima u kojima vrednost kvadratne funkcije ima međusobno suprotne predznake:


Na slici 1 manja nula pripada zadatom intervalu, a veća nula je izvan tog intervala. Samim tim, manja nula predstavlja granicu između intervala s pozitivnim vrednostima funkcije (u kojem se nalazi granica intervala [inlmath]a[/inlmath]) i intervala s negativnim vrednostima funkcije (u kojem se nalazi granica intervala [inlmath]b[/inlmath]). Zbog toga je [inlmath]f\left(a\right)>0[/inlmath] i [inlmath]f\left(b\right)<0[/inlmath], tj. [inlmath]f\left(a\right)[/inlmath] i [inlmath]f\left(b\right)[/inlmath] su suprotnih predznaka.
Na slici 2 je manja nula izvan intervala, a veća nula unutar intervala. Analogno prethodnom rezonu, zaključujemo da je ovde [inlmath]f\left(a\right)<0[/inlmath] i [inlmath]f\left(b\right)>0[/inlmath], tj. i ovde su [inlmath]f\left(a\right)[/inlmath] i [inlmath]f\left(b\right)[/inlmath] međusobno suprotnih predznaka.
U oba ta slučaja, zbog suprotnih predznaka [inlmath]f\left(a\right)[/inlmath] i [inlmath]f\left(b\right)[/inlmath], biće [inlmath]f\left(a\right)f\left(b\right)<0[/inlmath]..

Međutim, tim postupkom ne bi bili obuhvaćeni granični slučajevi, prikazani na slikama 3 i 4, kada je jedna od nula unutar intervala, a druga je na tačno nekoj od granica intervala. To isto spada u onaj slučaj koji se traži, da je jedna nula unutar intervala a druga van intervala, budući da se kod otvorenog intervala granice tog intervala tretiraju kao da su van tog intervala (za razliku od zatvorenog intervala).
Dakle, za takve slučajeve, kada je jedna od nula unutar intervala, a druga na nekoj od granica intervala, ne bismo se mogli oslanjati na prethodni postupak, jer bi [inlmath]f\left(a\right)f\left(b\right)[/inlmath] bilo jednako nula. Ali, taj proizvod bi bio jednak nuli i onda kada je neka od nula na granici intervala, a druga van zadatog intervala, a to nije onaj slučaj koji nam je od interesa. Zbog toga je takve slučajeve potrebno ispitivati zasebno.

Po mom tumačenju zadatka, trebalo bi čak još ispitati i slučaj [inlmath]D=0[/inlmath], kada jednačina ima jedno dvostruko rešenje, i to kada se to jedno dvostruko rešenje nalazi unutar zadatog intervala, pošto se i u tom slučaju unutar zadatog intervala nalazi tačno jedno rešenje jednačine:

Kalijum je napisao:evo jos jednog gde sam primenjivao [inlmath]I[/inlmath] nacin resavanja i dobio sam tacno resenje ali uz dosta racunanja. Zadatak je: Ako su oba korena jednacine [inlmath]x^2+mx+1=0,\;m\in\mathbb{R}[/inlmath] iz intervala [inlmath](0,2)[/inlmath], tada je parametar [inlmath]m[/inlmath] iz intervala? Resenje je [inlmath]m\in\left(-{5\over2},-2\right][/inlmath].
Oni su u resenju stavili da je [inlmath]D\ge0[/inlmath], i uslove da je [inlmath]f(0)>0[/inlmath] i [inlmath]f(2)>0[/inlmath]. Nije mi jasno zasto. Pokusavao sam to negde da pronadjem ali ovakve tipove zadataka nisam radio u skoli.

Pre svega, uslov [inlmath]D\ge0[/inlmath] je neophodan da bi rešenja uopšte bila realna (bilo realna i različita, bilo jedno dvostruko realno rešenje). Što se tiče ova druga dva uslova, [inlmath]f\left(0\right)>0[/inlmath] i [inlmath]f\left(2\right)>0[/inlmath], oni jesu potrebni, ali nisu i dovoljni, tako da, ako samo to piše u rešenju, onda je u pitanju propust. Prvo, zbog čega su to potrebni uslovi? Pošto je u jednačini [inlmath]x^2+mx+1=0[/inlmath] koeficijent uz kvadratni član pozitivan, to znači da će teme funkcije biti okrenuto nadole a kraci nagore, a to, opet, znači da će levo od manje nule i desno od veće nule vrednost funkcije biti pozitivna. Ako se obe nule nalaze unutar zadatog intervala, to znači da će leva granica intervala biti levo od manje nule, a desna granica intervala će biti desno od veće nule, tj. vrednost funkcije u obema granicama će biti pozitivna, pa će biti [inlmath]f\left(a\right)>0[/inlmath] i [inlmath]f\left(b\right)>0[/inlmath]. A evo i ilustracije:


Međutim, zašto to nije i dovoljan uslov? Zato što se može desiti i ovakav slučaj, kada su [inlmath]f\left(a\right)>0[/inlmath] i [inlmath]f\left(b\right)>0[/inlmath], a da su nule ipak izvan tog intervala, kao na sledećoj slici:


To jest, u ovom slučaju i donja i gornja granica intervala ([inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]) preslikavaju se u jedan isti krak parabole, za razliku od prethodnog slučaja, kada su se preslikavale u različite krake parabole.
Kako bismo eliminisali ovaj drugi slučaj, potrebno je da još postavimo i uslov da [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena parabole, [inlmath]x_T[/inlmath], pripada intervalu [inlmath]\left(a,b\right)[/inlmath]. Znamo formulu za [inlmath]x_T[/inlmath], ona glasi
[dispmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/dispmath]
Kada bi se zadatak radio bez tog uslova [inlmath]x_T\in\left(a,b\right)[/inlmath], dobilo bi se pogrešno rešenje, koje bi glasilo

Ali, kada bi se postavio još i uslov pripadnosti [inlmath]x[/inlmath]-koordinate temena zadatom intervalu,
[dispmath]0<x_T<2\\
0<-\frac{m}{2}<2\quad/\cdot2\\
0<-m<4\\
\underline{-4<m<0}[/dispmath]
to bi, u preseku sa [inlmath]m\in\left(-\frac{5}{2},-2\right]\cup\left[2,+\infty\right)[/inlmath], dalo tačno rešenje,

Čim su oni u rešenju napisali ispravan rezultat, znači da su ipak uzeli u obzir i uslov [inlmath]x_T\in\left(0,2\right)[/inlmath], samo su zaboravili da ga napišu.

Ipak je moj propust u pitanju. Stavili su i uslov da je [inlmath]0<-{m\over2}<2[/inlmath] i secam se da nisam znao zbog cega. Hvala na resenju i teoriji.