MATEMANIJA

Nekada sam znao da rešavam ovako nešto, a sada . Koliko se sećam potrebna je smena.

1. Ako je [inlmath]a-a^{-1}=3[/inlmath] onda je [inlmath]a^3-a^{-3}[/inlmath]?
2. Ako je [inlmath]\frac{1}{3}f(x)+3f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}[/inlmath], onda je vrednost [inlmath]f(3)[/inlmath]?

Oba su iz zbirke za prijemni ispit za Farmaceutski fakultet

Pošto Daniel trenutno kuca odgovor prepuštam ovo njemu. Ali evo jednog blic načina za izradu drugog (s izbegavanjem smene)- nadam se da to nije ono što on sada kuca.

U [inlmath]\frac{1}{3}f(x)+3f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}[/inlmath] uvrstimo umesto [inlmath]x[/inlmath] redom [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath]. Dobijamo jednačine:
[dispmath]\frac{1}{3}f(3)+3f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}[/dispmath][dispmath]\frac{1}{3}f\left(\frac{1}{3}\right)+3f(3)=3[/dispmath]
Uz smene [inlmath]f(3)=a[/inlmath] i [inlmath]f\left(\frac{1}{3}\right)=b[/inlmath] sistem postaje:
[dispmath]\frac{1}{3}a+3b=\frac{1}{3}[/dispmath][dispmath]\frac{1}{3}b+3a=3[/dispmath]
Ovo sa dalje lako reši: [inlmath]a=1[/inlmath].

Ovaj prvi bi mogao i bez smene,
[dispmath]\left.a-a^{-1}=3\quad\right/(\;)^3[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad a^3-3a^2a^{-1}+3a\left(a^{-1}\right)^2-\left(a^{-1}\right)^3=a^3-3a+3a^{-1}-a^{-3}=a^3-a^{-3}-3\underbrace{\left(a-a^{-1}\right)}_3=27\\
\Rightarrow\quad a^3-a^{-3}=27+9=36[/dispmath]
ali ako je baš potrebno sa smenom, može se uvesti
[inlmath]b=a^{-1}[/inlmath]
pri čemu je
[inlmath]a-b=3\\
ab=aa^{-1}=1[/inlmath]
[dispmath]a-b=3\quad\left/(\;)^3\right.[/dispmath][dispmath]a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-3a\cancelto{1}{\left(ab\right)}+3\cancelto{1}{\left(ab\right)}b-b^3=a^3-b^3-3\underbrace{\left(a-b\right)}_3=27\\
\Rightarrow\quad a^3-b^3=27+9=36\quad\Rightarrow\quad a^3-a^{-3}=36[/dispmath]

A evo i standardnog, manje elegantnog, načina za 2. zadatak, ali koji se radi korišćenjem smene.

Smena [inlmath]\frac{1}{x}=t[/inlmath]:
[dispmath]\frac{1}{3}f\left(\frac{1}{t}\right)+3f\left(t\right)=t[/dispmath]
Pošto je svejedno da li nezavisno promenljivu obeležimo sa [inlmath]t[/inlmath] ili sa [inlmath]x[/inlmath], to možemo isto napisati i kao:
[dispmath]\frac{1}{3}f\left(\frac{1}{x}\right)+3f\left(x\right)=x[/dispmath]
i onda dobijamo sistem:
[dispmath]\frac{1}{3}f(x)+3f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}\\
\frac{1}{3}f\left(\frac{1}{x}\right)+3f\left(x\right)=x[/dispmath]
Smena
[inlmath]f\left(x\right)=a\\
f\left(\frac{1}{x}\right)=b[/inlmath]
[dispmath]\frac{1}{3}a+3b=\frac{1}{x}\\
\frac{1}{3}b+3a=x[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad a=f\left(x\right)=\frac{3}{80}\cdot\frac{9x^2-1}{x}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad f\left(3\right)=1[/dispmath]

Prvi možeš uraditi i tako rešiti što rešiš kvadratnu jednačinu po [inlmath]a[/inlmath] i onda uvrstiš dobijene vrednosti u drugi izraz – ali je to svakako nepotrebno komplikovanje.