MATEMANIJA

Zadatak 5:
[dispmath]x^{3-\log_{10}\frac{x}{3}}=900\quad /\log_3\\
\log_3x^{3-\log_{10}\frac{x}{3}}=\log_3{900}\\
\left(3-\log\frac{x}{3}\right)\cdot\log_3x=\log_3900\\
\left(3-\log x+\log 3\right)\cdot\log_3x=\log_3900\\
\left(3-\log x+\log 3\right)\cdot\frac{\log x}{\log 3}=\log_3900\quad /\cdot\log 3\\
3\log x-\log^2x+\log 3\cdot\log x=\log_3900\cdot\log 3\\
3\log x-\log^2x+\log 3\cdot\log x=\frac{2}{\log_310}+2\\
3\log x-\log^2x+\log 3\cdot\log x-\frac{2}{\log_310}-2=0[/dispmath][dispmath]a=-1\\
b=3+\log 3\\
c=-\frac{2}{\log_310}-2[/dispmath]
Malo sam skratio račun sa desne strane, da uštedim dva-tri reda pisanja.
Postoji li humaniji način da se ovo reši?

Matematika za prijemni ispit na prirodno matematičkim i tehničkim fakultetima (Jovanov, Lazović, Đorić)

Logartimuj za osnovu [inlmath]10[/inlmath]:
[dispmath]\left(3-\log_{10}\frac{x}{3}\right)\cdot\log_{10}x=\log_{10}900[/dispmath][dispmath]\left(3-\log_{10}x+\log_{10}3\right)\cdot\log_{10}x=\log_{10}9+\log_{10}{100}=2\log_{10}3+2[/dispmath]
I onda smenom [inlmath]\log_{10}x=t[/inlmath] dobiješ kvadratnu jednačinu.

[dispmath]x^{3-\log_{10}\frac{x}{3}}=900[/dispmath]
Prvo postavis uslov da je [inlmath]x>0[/inlmath].
Logaritmujemo za osnovu [inlmath]10[/inlmath] (koju necu pisati u nastavku). Dobija se:
[dispmath]\left(3-\log{x\over 3}\right)\cdot\log x=\log 900[/dispmath][dispmath]\left(3-\log x+\log 3\right)\cdot\log x=\log\left(3^2\cdot 100\right)[/dispmath][dispmath]3\log x-\log^2x+\log 3\log x=2\log 3+\log 100[/dispmath][dispmath]3\log x-\log^2x+\log 3\log x=2\log 3+2[/dispmath][dispmath]\log^2x-3\log x-\log 3\log x+2\log 3+2=0[/dispmath][dispmath]\log^2x-\log x\left(3+\log 3\right)+2\log 3+2=0[/dispmath]
Uvodimo smenu:[inlmath]\log x=t[/inlmath]
[dispmath]t^2-t\left(3+\log 3\right)+2\log 3+2=0[/dispmath][dispmath]t_{1,2}={3+\log 3\pm\sqrt{\log^23+6\log 3+9-4\left(2+2\log 3\right)}\over 2}[/dispmath][dispmath]t_{1,2}={3+\log 3\pm\sqrt{\log^23+6\log 3+9-8-8\log 3}\over 2}[/dispmath][dispmath]t_{1,2}={3+\log 3\pm\sqrt{\log^23-2\log 3+1}\over 2}[/dispmath][dispmath]t_{1,2}={3+\log 3\pm\sqrt{\left(\log 3-1\right)^2}\over 2}[/dispmath][dispmath]t_{1,2}={3+\log 3\pm\vert\log 3-1\vert\over 2}[/dispmath]
Posto je [inlmath]\log 3<1[/inlmath] tj. [inlmath]\log 3<\log 10[/inlmath] onda je:
[dispmath]t_{1,2}={3+\log 3\pm\left(1-\log 3\right)\over 2}[/dispmath][dispmath]t_1={3+\cancel\log 3+1-\cancel\log 3\over 2},\quad t_2={3+\log 3-1+\log 3\over 2}[/dispmath][dispmath]t_1=2,\quad t_2=1+\log 3[/dispmath]
Posto je [inlmath]\log x=t[/inlmath] imamo dva slucaja:
[dispmath]I:\quad\log x=2\rightarrow x=100[/dispmath][dispmath]II:\quad\log x=1+\log3\rightarrow\log x=\log 30\rightarrow x=30[/dispmath]
To su i resenja date jednacine jer ispunjavaju uslov [inlmath]x>0[/inlmath].

Samo jedna napomena,

Kalijum je napisao:[dispmath]t_{1,2}={3+\log 3\pm\vert\log 3-1\vert\over 2}[/dispmath]
Posto je [inlmath]\log 3<1[/inlmath] tj. [inlmath]\log 3<\log 10[/inlmath] onda je:
[dispmath]t_{1,2}={3+\log 3\pm\left(1-\log 3\right)\over 2}[/dispmath]

Budući da ispred zagrade za apsolutnu vrednost imamo znak [inlmath]\pm[/inlmath], tj. uzimamo obe vrednosti – i s plusom i s minusom ispred zagrade, samim tim se komotno možemo osloboditi zagrade za apsolutnu vrednost, bez ikakve potrebe da određujemo znak izraza unutar apsolutne vrednosti.
U ovom slučaju nije bio nikakav problem ni odrediti znak izraza unutar apsolutne vrednosti, ali biće slučajeva u kojima to neće biti moguće odrediti, pa čisto da znate da ovde nema potrebe za pisanjem apsolutne vrednosti...