MATEMANIJA

Zadatak 9:
[dispmath]\log_x\frac{62x^2-35x+6}{35-6x}\ge 3[/dispmath]

---

Što se uslova tiče:
[dispmath]x>0,\;x\ne 1,\;\frac{62x^2-35x+6}{35-6x}>0[/dispmath][dispmath]62x^2-35x+6=0\\
x_{1,2}=\frac{35\pm\sqrt{1225-1488}}{124}\;\Longrightarrow\;\enclose{box}{x>0}[/dispmath]
Pošto je brojilac veći od nule, a izraz takođe treba da bude veći od nule, razmatramo slučaj kada je imenilac veći od nule:
[dispmath]35-6x>0\\
x<\frac{35}{6}[/dispmath]
Sledi da je uslov:
[dispmath]\enclose{box}{x\in(0,1)\cup\left(1,\frac{35}{6}\right)}[/dispmath]

---

Rešavamo zadatak:
[dispmath]\log_x\frac{62x^2-35x+6}{35-6x}\ge 3\\
\cancel{\log_x}\frac{62x^2-35x+6}{35-6x}\ge\cancel{\log_x}x^3[/dispmath]
Za prvi deo uslova [inlmath](0,1)[/inlmath]:
[dispmath]\frac{62x^2-35x+6}{35-6x}\le x^3\\
62x^2-35x+6\le 35x^3-6x^4\\
6x^4-35x^3+62x^2-35x+6\le 0[/dispmath]

---

Ne znam dalje, a pravo da vam kažem, ne znam ni da l' je ovo do sad dobro.

Prvo me interesuje da l' sam dobro odradio uslove, ako jesam, da li je dobro što sam krenuo da rešavam dva slučaja zadatka (po jedan za svaki deo uslova)?

Ako nisam dobro odradio, nemojte pisati rešenje, samo mi ukažite gde grešim i kako da nastavim, pa ću ispisati ostatak.

Matematika za prijemni ispit na tehničkim i prirodno matematičkim fakultetima (Jovanov, Lazović, Đorić)

Dosad si sve uradio tačno kako treba.

Jedino što si ovde

stevan95 je napisao:[dispmath]x_{1,2}=\frac{35\pm\sqrt{1225-1488}}{124}\;\Longrightarrow\;\enclose{box}{x>0}[/dispmath]

umesto [inlmath]x>0[/inlmath] možda hteo da napišeš [inlmath]62x^2-35x+6>0[/inlmath]

E sad, razmišljao sam kako dalje rešavati nejednačinu [inlmath]4.[/inlmath] stepena, [inlmath]6x^4-35x^3+62x^2-35x+6\le 0[/inlmath]. Naravno, potrebno je polinomu na levoj strani prvo naći nule, kako bismo ga mogli faktorizovati. Pošto se u zadacima, u slučajevima polinoma višeg reda, obično zadaju takve vrednosti da polinom ima celobrojne nule, mogli bismo da pretpostavimo da bar neke od nula i ovog polinoma jesu celi brojevi, pa da, kao takve, pokušamo da ih nađemo. Prvo uočimo simetričnost koeficijenata koji se pojavljuju ([inlmath]6,-35,62,-35,6[/inlmath]) i to iskoristimo na sledeći način: celu jednačinu [inlmath]6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0[/inlmath] podelimo sa [inlmath]x^4[/inlmath] (pošto smo prethodno proverili da [inlmath]x=0[/inlmath] nije jedna od nula polinoma):
[dispmath]6-\frac{35}{x}+\frac{62}{x^2}-\frac{35}{x^3}+\frac{6}{x^4}=0[/dispmath]
potom uvedemo smenu [inlmath]\frac{1}{x}=t[/inlmath],
[dispmath]6-35t+62t^2-35t^3+6t^4=0\\
6t^4-35t^3+62t^2-35t+6=0[/dispmath]
iz čega vidimo da će polinom [inlmath]6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0[/inlmath] imati iste nule kao i polinom [inlmath]6t^4-35t^3+62t^2-35t+6=0[/inlmath]. A pošto je [inlmath]\frac{1}{x}=t[/inlmath], sledi da ako je [inlmath]a[/inlmath] nula ovog polinoma, tada će i njegova recipročna vrenost, [inlmath]\frac{1}{a}[/inlmath], takođe biti njegova nula.
Pošto je u pitanju polinom [inlmath]4.[/inlmath] stepena, on će imati četiri nule. Obeležimo ih sa [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]\frac{1}{a}[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{b}[/inlmath], pri čemu pretpostavimo da su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] celi brojevi.
Polinom bi u faktorisanom obliku glasio:
[dispmath]6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=6\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-\frac{1}{a}\right)\left(x-\frac{1}{b}\right)[/dispmath]
zatim to razvijemo:
[dispmath]6\left[x^2-\left(a+\frac{1}{a}\right)x+1\right]\left[x^2-\left(b+\frac{1}{b}\right)x+1\right]=\\
=6\left[x^4-\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)x^3+\left(2+ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{ab}\right)x^2-\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)x+1\right][/dispmath]
Posmatramo koeficijente uz [inlmath]x^3[/inlmath] i uz [inlmath]x[/inlmath]:
[dispmath]6\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=35\\
6\left(a+b+\frac{a+b}{ab}\right)=35\\
6\left(a+b\right)\left(1+\frac{1}{ab}\right)=35\\
\frac{6}{ab}\left(a+b\right)\left(ab+1\right)=35[/dispmath]
Celobrojni činioci broja [inlmath]35[/inlmath] su sledeći brojevi: [inlmath]-35,-7,-5,-1,1,5,7,35[/inlmath].
Pošto se [inlmath]6[/inlmath] ne nalazi među činiocima broja [inlmath]35[/inlmath], to znači da [inlmath]\frac{6}{ab}[/inlmath] ne sme biti deljiv sa [inlmath]6[/inlmath], tj. da [inlmath]ab[/inlmath] mora biti celobrojni umnožak broja [inlmath]6[/inlmath]. Takođe, faktori [inlmath]\left(a+b\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(ab+1\right)[/inlmath], pošto su celobrojni, mogu imati neke od sledećih vrednosti:
[inlmath]\left(a+b,ab+1\right)\in\left\{\left(-35k,-l\right),\left(-7k,-5l\right),\left(-5k,-7l\right),\left(-k,-35l\right),\left(k,35l\right),\left(5k,7l\right),\left(7k,5l\right),\left(35k,l\right)\right\},\;ab=6kl,\;k,l\in\mathbb{Z}[/inlmath]
I sad, nema druge nego proveravati jedan po jedan od tih parova:
[dispmath]a+b=-35k,\;ab+1=-l,\;ab=6kl\quad\Rightarrow\quad 6kl+1=-l\quad\Rightarrow\\
\Rightarrow\quad -l\left(6k+1\right)=1\quad\Rightarrow\quad k=0,\;l=-1\quad\Rightarrow\quad a=b=0[/dispmath]
što je u suprotnosti s podatkom koji je ranije proveren, da [inlmath]x=0[/inlmath] nije nula tog polinoma.
[dispmath]a+b=-7k,\;ab+1=-5l,\;ab=6kl\quad\Rightarrow\quad 6kl+1=-5l\quad\Rightarrow\\
\Rightarrow\quad -l\left(6k+5\right)=1\quad\Rightarrow\quad k=-1,\;l=1\quad\Rightarrow\quad a+b=7,\;ab=-6[/dispmath]
Ovaj slučaj nema rešenja po [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] u skupu celih brojeva.

[inlmath]\vdots[/inlmath]

Da sad ne pišem i za ostale parove, jedino rešenje koje se može prihvatiti dobiće se za [inlmath]a+b=5k,\;ab+1=7l[/inlmath]:
[dispmath]a+b=5k,\;ab+1=7l,\;ab=6kl\quad\Rightarrow\quad 6kl+1=7l\quad\Rightarrow\\
\Rightarrow\quad l\left(7-6k\right)=1\quad\Rightarrow\quad k=1,\;l=1\quad\Rightarrow\quad a+b=5,\;ab=6[/dispmath]
odakle se dobija ili [inlmath]\left(a,b\right)=\left(2,3\right)[/inlmath], ili [inlmath]\left(a,b\right)=\left(3,2\right)[/inlmath] – svejedno koje ćemo od ta dva usvojiti, zbog simetričnosti sistema u odnosu na [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].

Ovo rešenje je još potrebno da proverimo tako što ćemo ga uvrstiti u koeficijent uz [inlmath]x^2[/inlmath] i videti da li zaista dobijemo [inlmath]62[/inlmath], koliko iznosi odgovarajući koeficijent u polinomu čije nule tražimo:
[dispmath]6\left(2+ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{ab}\right)=6\left(2+2\cdot 3+\frac{2}{3}+\frac{3}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}\right)=\cdots =62[/dispmath]
Prema tome, nule polinoma [inlmath]4.[/inlmath] stepena su [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath], pa se polinom može napisati kao
[dispmath]6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=6\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)[/dispmath]
Sada kad znaš nule polinoma, dalje nejednačinu možeš rešavati preko tablica...

---

Ako neko zna jednostavniji način kako „napipati“ rešenja ove nejednačine [inlmath]4.[/inlmath] stepena, slobodno nek napiše, zanimalo bi me.

[dispmath]6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0[/dispmath]
Podelimo sa [inlmath]x^2[/inlmath]:
[dispmath]6x^2-35x+62-\frac{35}{x}+\frac{6}{x^2}=0[/dispmath][dispmath]6\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-35\left(x+\frac{1}{x}\right)+62=0[/dispmath]
Smenom [inlmath]x+\frac{1}{x}=t[/inlmath] uz [inlmath]t^2=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2[/inlmath], odnosno [inlmath]t^2-2=x^2+\frac{1}{x^2}[/inlmath], ovo postaje:
[dispmath]6\left(t^2-2\right)-35t+62=0[/dispmath]
Ovo je već kvadratna jednačina rešiva po [inlmath]t[/inlmath]. Onda se vrati smena itd.

Bez ove dosetke bi se ovo moglo rešiti pomoću Bezua- pogodimo nule [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath], pa onda delimo sa [inlmath](x-2)(x-3)[/inlmath] i onda rešimo kvadratnu.

Odlična dosetka, zaista. A i primenjiva je za bilo koju (ne)jednačinu [inlmath]4.[/inlmath] stepena kod koje su koeficijenti simetrično raspoređeni ([inlmath]ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0[/inlmath]), kao što je ovde bio slučaj.