MATEMANIJA

Za koje vrednosti realnog parametra [inlmath]a[/inlmath] jednačina
[dispmath]x-a=2\left|2\sqrt x^2-a^2\right|[/dispmath]
ima maksimalan broj različitih realnih rešenja?

Zamolio bih za pomoc u resavanju ovog zadatka.
Kao resenje zadatka stoji [inlmath]-2<a<-\frac{1}{2}[/inlmath] ali ne znam kako da dodjem do toga..

Nešto s tim rešenjem ne štima... Proveri da li si dobro napisao zadatak. Da ne treba, možda, ovako da glasi?
[dispmath]x-a=2\left|2\sqrt{x^2}-a^2\right|[/dispmath]
Tada bi se zaista dobilo to rešenje koje si napisao.

Uglavnom, takvi zadaci u kojima se traži broj rešenja jednačine vrlo često se rade grafički, tako što levu stranu jednačine posmatraš kao jednu funkciju, desnu stranu jednačine kao drugu funkciju, nacrtaš grafike obe te funkcije, pri čemu će broj njihovih preseka biti jednak broju rešenja te jednačine. I zatim odrediš uslove pod kojima će broj tih preseka biti maksimalan...

Pogledaj i ove zadatke, slični su:
viewtopic.php?f=2&t=341
viewtopic.php?f=2&t=223

Da, tako treba da glasi..
Mene zbunjuje to sto unutar apsolutne vrednosti imam i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]a[/inlmath] sto nije slucaj u zadacima koje si mi okacio. Zadatak mi treba bez crtanja grafika. Ja sam pokusao da uradim sva 4 slucaja, dva za [inlmath]X[/inlmath] i dva za [inlmath]-X[/inlmath] i uradio sam isto tako kao u drugom zadatku sto si mi okacio da pogledam, ubacivao vrednost koju dobijem u uslov iz apsolutne vrednosti i dobio sam 4 intervala za vrednosti [inlmath]a[/inlmath] sa kojima ne znam sta da radim..U drugom zadaktu koji si mi okacio dat je npr. uslov [inlmath]x>2[/inlmath] pa se lako proveri, dok ja u zadatku dobijem nesto tipa [inlmath]x\le -\frac{a^2}{2}[/inlmath]

Da li je u tekstu zadatka eksplicitno rečeno da zadatak nije dozvoljeno uraditi pomoću grafika? To bi me veoma čudilo, jer je ovakve zadatke gotovo nemoguće uraditi na drugi način. Pored tog načina s rastavljanjem na slučajeve, koji si već isprobao, može se još pokušati i s kvadriranjem obe strane s ciljem oslobađanja od apsolutne vrednosti (naravno, uz postavljanje uslova [inlmath]x-a\ge 0[/inlmath]), ali se i tada račun do te mere zakomplikuje da zaista ne verujem da morate da radite na neki od tih načina.

Mene bi zanimalo citavo rjesenje ovoga zadatka(sa postupkom).Gledo sam ove sto si mi postavio njih nesto i razumijem. Mene ovde zbunjuje sto imam parametar [inlmath]a[/inlmath] sa obe strane kako da nacrtam dvije funkcije koje zavise od jednog parametra u ovim zadacima nisam naisao na zadatke ovakvog tipa. I kada ovo ukucam na wolframu ne znam ni ja kako on nacrta tu funkciju znaci ne razumijem zadatak nikako. Pa ako mozes da ga rjesis ili postavis vec gotovo rjesenja ako imas bio bih ti veoma zahvalan !

Ako tražiš čitavo rešenje ovog zadatka sa sve postupkom, onda se bojim da si na pogrešnom mestu, budući da svrha ovog foruma definitivno nije da daje gotova rešenja zadataka. Ali, tu smo da ti pomognemo da do rešenja sam dođeš svojim postupkom. Hajde, za početak, da vidimo gde se pojavio problem. Jesi li skicirao grafik funkcije [inlmath]f\left(x\right)=x-a[/inlmath] (leva strana jednačine)? Jesi li skicirao grafik funkcije [inlmath]g\left(x\right)=2\left|2\sqrt{x^2}-a^2\right|[/inlmath] (desna strana jednačine)? Jesi li uočio kada će broj presečnih tačaka ta dva grafika biti maksimalan? Hajde, pošalji nam to što si dosad uradio (skicirao), da proverimo i da eventualno korigujemo po potrebi.

Mislio sam vec ako ima negdje ovde da mi posaljes link kao sto si slao za ono.To bi bilo najbolje. Pokusavam ja njega rjesavati samosatlno ali ne da mi se nikako samo kada bi mi dao neke upute bilo bi dobro.Uopste mi nije jasno kako da nacrtam grafik ove dvije funkcije rekao sam vec gore sta me zbunjuje sta ti kazes na to ?

Evo ti primer crtanja grafika funkcije s parametrom. Neka je funkcija data sa [inlmath]f\left(x\right)=2x+a[/inlmath]. Njen grafik će izgledati ovako:


Naravno, ova funkcija ti u tvom zadatku nije potrebna, njom ti samo pokazujem princip.

Bi li sad umeo, za početak, da nacrtaš grafik funkcije [inlmath]f\left(x\right)=x-a[/inlmath]? Možeš se služiti i objašnjenjem grafika linearne funkcije kroz animacije.

Evo nacrtao sam oba grafika. Samo ne znam jesu li tacni.Pomogao si mi ti sa ovim svojim grafikom. Ja sam crtao na fazon uzmem za [inlmath]a[/inlmath] neki realan broj i poslije gdje taj realan broj ide u kordinatnom sistemu upisem [inlmath]a[/inlmath]. U mom slucaju za [inlmath]a=1[/inlmath].Ako je ovo dobro samo jos ostaje kako da odredim interval [inlmath]a[/inlmath] za koje jednacina ima max broj rjesenja. Po ovome mome max broj rjesenja je [inlmath]4[/inlmath]. Pa eto pogledaj grafike i ako moze pomoc oko odredjivanja intervala za [inlmath]a[/inlmath]?

Pa, eto, vidiš kako možeš. Tebe je, zapravo, jedino zbunjivao taj parametar, ali isto se crta kao i kad umesto parametra imaš konkretnu brojnu vrednost. Samo je potrebno da na grafiku, prilikom obeležavanja karakterističnih tačaka, umesto konkretnih brojnih vrednosti napišeš izraze u kojima figuriše taj parametar.
Doduše, u drugom grafiku koji si okačio, iako ti je sâm grafik ispravnog oblika, napravio si greščicu u obeležavanju tačaka u kojima grafik dodiruje/seče koordinatne ose. Tačke u kojima grafik dodiruje [inlmath]x[/inlmath]-osu nisu [inlmath]-a[/inlmath] i [inlmath]a[/inlmath], već treba da budu [inlmath]-\frac{a^2}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{a^2}{2}[/inlmath]. Tačka u kojoj grafik seče [inlmath]y[/inlmath]-osu nije [inlmath]2a[/inlmath], već je [inlmath]2a^2[/inlmath].
To možeš lako i da proveriš – ako bi u funkciju uvrstio [inlmath]x=-a[/inlmath] ili [inlmath]x=a[/inlmath] (ono što si ti naveo kao tačke dodira s [inlmath]x[/inlmath]-osom), ne bi dobio nulu kao što bi se očekivalo da dobiješ, već bi dobio [inlmath]f\left(-a\right)=f\left(a\right)=2\left|2\left|a\right|-a^2\right|[/inlmath]. Ali, ako bi uvrstio [inlmath]x=-\frac{a^2}{2}[/inlmath] ili [inlmath]x=\frac{a^2}{2}[/inlmath], dobio bi [inlmath]f\left(-\frac{a^2}{2}\right)=f\left(\frac{a^2}{2}\right)=2\left|\cancel 2\cdot\frac{a^2}{\cancel 2}-a^2\right|=0[/inlmath], što i treba da se dobije za tačke preseka s [inlmath]x[/inlmath]-osom.
Slično i za tačku preseka s [inlmath]y[/inlmath]-osom. Uvrstiš [inlmath]x=0[/inlmath] u izraz za funkciju i dobiješ [inlmath]f\left(0\right)=2\left|2\sqrt{0^2}-a^2\right|=2\left|-a^2\right|=2a^2[/inlmath], što znači da taj grafik seče [inlmath]y[/inlmath]-osu u [inlmath]2a^2[/inlmath].

Prvi grafik ti je OK (funkcija [inlmath]f\left(x\right)=x-a[/inlmath]) i odnosi se na slučaj da je [inlmath]a>0[/inlmath]. Kada bi [inlmath]a[/inlmath] bilo jednako nuli, grafik funkcije bi imao isti nagib i prolazio bi kroz koordinatni početak (da sad to ne crtam, nema potrebe), dok bi za [inlmath]a<0[/inlmath] grafik izgledao ovako:


Ovaj slučaj nam je bitan jer ćemo za koji trenutak videti da ćemo upravo takav slučaj imati onda kada jednačina bude imala maksimalan broj rešenja (četiri rešenja, kako si i sâm ispravno zaključio).

Sada nacrtamo zajedno ova dva grafika, tako da broj njihovih preseka (a samim tim i broj rešenja jednačine) bude maksimalan:


Da bi broj preseka bio maksimalan (tj. da bi bio [inlmath]4[/inlmath]), potrebno je da se grafik funkcije [inlmath]f\left(x\right)=x-a[/inlmath] (na slici obeležen plavo) nalazi u oblasti ograničenoj gornjom i donjom sivom linijom. Pošto grafik funkcije [inlmath]f\left(x\right)=x-a[/inlmath] seče [inlmath]y[/inlmath]-osu u tački [inlmath]-a[/inlmath], a nalazi se između sivih linija od kojih jedna seče [inlmath]y[/inlmath]-osu u tački [inlmath]\frac{a^2}{2}[/inlmath], a druga u tački [inlmath]2a^2[/inlmath], sledi da će se grafik funkcije [inlmath]f\left(x\right)=x-a[/inlmath] nalaziti između ove dve sive linije onda kada je zadovoljeno [inlmath]\frac{a^2}{2}<-a<2a^2[/inlmath]. To jest, tada će broj preseka (znači, i broj rešenja jednačine) biti maksimalan i iznosiće [inlmath]4[/inlmath].

Rešavanjem nejednačine [inlmath]\frac{a^2}{2}<-a<2a^2[/inlmath] (što je, zapravo, sistem od dve nejednačine) dobije se konačno rešenje, koje glasi [inlmath]-2<a<-\frac{1}{2}[/inlmath].