Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Naci limes / granicnu vrednost rekurentno zadatog niza

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Naci limes / granicnu vrednost rekurentno zadatog niza

Postod Griezzmiha » Četvrtak, 26. Novembar 2020, 11:51

Dobar dan, gospodo!
Nemam bas neku ideju kako bih resio sledeci zadatak... Naime u zbirci zadataka (Stojana Radenovica), se ovaj zadatak zadaje kao primer za prethodno razjasnjen (ali meni nejasan) stav 1.1, koji glasi:

Neka je [inlmath]E\subset\mathbb{R}[/inlmath] razmak i neka [inlmath]f\colon E\to\mathbb{R}[/inlmath] tako da je [inlmath]f(E)\subset E[/inlmath]. Neka je zatim [inlmath]x_1\in E[/inlmath] i [inlmath]x_{n+1}=f(x_n)[/inlmath] za [inlmath]n\ge1[/inlmath] niz zadat rekurentno. Onda imamo:

1. Ako je [inlmath]f[/inlmath] rastuca (neopadajuca) funkcija na [inlmath]E[/inlmath], niz [inlmath]x_n[/inlmath] je monoton (raste, ne opada, opada, raste).


Zadatak: Dat je niz [inlmath]x_1=2000[/inlmath] i [inlmath]x_n=2^{1-x_{n-1}}[/inlmath] za [inlmath]n\ge2[/inlmath]. Naći [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}x_n[/inlmath]

Nemam ideju, niti ikakav pristup da pokusam da resim zadatak... Prosto receno, ne znam ni kako bih ga zapoceo. Tako da u sustini, iako Stav 1.1. Ima za cilj da pomogne u resavanju problema ove vrste, kod mene bar to nije slucaj. Neki hint, objasnjenje onoga sto Stav zeli da kaze, i eventualno objasnjenje onoga sto se u samom zadatku trazi bi bilo od velike pomoci.

Jos to da dodam, sama uloga ovog skupa/podskupa [inlmath]E[/inlmath] mi je skroz konfuzna... Sta on treba da predstavlja mi uopste nije jasno.
 
Postovi: 83
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Naci limes / granicnu vrednost rekurentno zadatog niza

Postod Daniel » Ponedeljak, 07. Decembar 2020, 02:09

Pogledaj ovo objašnjenje za sličan zadatak. Ovde takođe ako pretpostaviš da limes konvergira, možeš naći „kandidata“ za limes, tako što u zadatoj rekurentnoj formuli, [inlmath]x_n=2^{1-x_{n-1}}[/inlmath], „limesuješ“ obe strane.
Sledeće što treba da uradiš to je da dokažeš da niz konvergira, i da, samim tim, taj kandidat za limes jeste traženi limes. Da bi dokazao konvergenciju ovog niza, možeš ga rastaviti na dva podniza, [inlmath]a_n[/inlmath] i [inlmath]b_n[/inlmath], pri čemu se [inlmath]a_n[/inlmath] sastoji od neparnih, a [inlmath]b_n[/inlmath] od parnih članova niza [inlmath]x_n[/inlmath]. Tada će važiti [inlmath]a_n=2^{1-2^{\Large1-a_{n-1}}}[/inlmath] (slično i za [inlmath]b_n[/inlmath]). Lako se može pokazati da je podniz [inlmath]a_n[/inlmath] monotono opadajući i odozdo ograničen nulom, a podniz [inlmath]b_n[/inlmath] monotono rastući i odozgo ograničen dvojkom – prema tome, oba su konvergentna (lako se pokazuje i da oba imaju istu graničnu vrednost kao i niz [inlmath]x_n[/inlmath], čime je dokazano da kandidat za limes tog niza jeste limes tog niza).

Slikovito možemo to zamisliti kao da vrednosti članova niza [inlmath]x_n[/inlmath] zapravo naglo opadaju od početne vrednosti [inlmath]x_1=2000[/inlmath], nakon čega prigušeno osciluju oko granične vrednosti.

Griezzmiha je napisao:Jos to da dodam, sama uloga ovog skupa/podskupa [inlmath]E[/inlmath] mi je skroz konfuzna... Sta on treba da predstavlja mi uopste nije jasno.

[inlmath]E[/inlmath] je neki podskup skupa realnih brojeva kojem pripadaju vrednosti svih članova niza [inlmath](x_n)[/inlmath]. To se može zaključiti iz [inlmath]x_1\in E[/inlmath] i [inlmath]f(E)\subset E[/inlmath], a pošto je [inlmath]x_{n+1}=f(x_n)[/inlmath] za [inlmath]n\ge1[/inlmath], induktivno sledi da svaki član [inlmath]x_n[/inlmath] pripada [inlmath]E[/inlmath]. Konkretno, u ovom primeru članovi niza obuhvataju vrednosti od [inlmath]2^{-1999}[/inlmath] (za [inlmath]x_2[/inlmath]) do [inlmath]2000[/inlmath] (za [inlmath]x_1[/inlmath]), pa će [inlmath]E[/inlmath] biti bilo koji podskup skupa realnih brojeva koji sadrži sve te vrednosti.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8740
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4816 puta
Pohvaljen: 4682 puta

Re: Naci limes / granicnu vrednost rekurentno zadatog niza

Postod miki069 » Nedelja, 31. Januar 2021, 22:27

Ne uspevam da nadjem rezultat limesa.
miki069  OFFLINE
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Naci limes / granicnu vrednost rekurentno zadatog niza

Postod miki069 » Ponedeljak, 01. Februar 2021, 15:27

Rešenje je trivijalno.
Limes niza je [inlmath]1[/inlmath].
Niz je konvergentan.
miki069  OFFLINE
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Naci limes / granicnu vrednost rekurentno zadatog niza

Postod Daniel » Ponedeljak, 01. Februar 2021, 21:48

Dakle, kao što napisah gore, „limesujemo“ obe strane [inlmath]x_n=2^{1-x_{n-1}}[/inlmath] i dobijemo [inlmath]a=2^{1-a}[/inlmath], gde smo pretpostavili da limes postoji i da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n-1}=a[/inlmath]. Jednačina [inlmath]a=2^{1-a}[/inlmath] je transcendentna (ne može se rešiti analitički), ali se njeno rešenje lako „napipa“, to je [inlmath]1[/inlmath], kao što si i napisao. Ali, još uvek ne znamo da je to limes, već samo znamo da je to kandidat (i jedini kandidat) za limes. Da bismo dokazali da je to limes, moramo dokazati da niz konvergira (u prethodnom postu sam pokazao kako).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8740
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4816 puta
Pohvaljen: 4682 puta

Re: Naci limes / granicnu vrednost rekurentno zadatog niza

Postod miki069 » Nedelja, 02. Maj 2021, 23:10

Moglo je i po teoremi. Funkcija [inlmath]f(t)=2^{1-t}[/inlmath] ima negativan prvi izvod za svako [inlmath]t[/inlmath], odakle sledi da niz sigurno ima dva podniza razlicita po monotonosti. Vezano za pocetak zadatka. Posle ostaje da se dokaze konvergencija i nadje limes.
miki069  OFFLINE
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 23. Jun 2021, 06:53 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs