Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Beskonačan niz koji ne konvergira ka dvojci

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Beskonačan niz koji ne konvergira ka dvojci

Postod StefanosDrag » Nedelja, 19. Septembar 2021, 06:25

Zadatak glasi: Detaljno objasni zašto je nemoguće imati niz koji sadrži beskonačan broj dvojki, koji konverguje ka vrednosti koja nije [inlmath]2[/inlmath].

Ovako sam ja pristupio rešavanju zadatka:
Neka je [inlmath]\varepsilon>0[/inlmath]. Pretpostavimo da je [inlmath]a_n[/inlmath] niz sa beskonačno mnogo dvojki, koji konverguje ka broju [inlmath]a\ne2[/inlmath]. Po definiciji konvergencije niza, znamo da postoji neko [inlmath]N_\varepsilon[/inlmath] takvo da kada je [inlmath]n>N_\varepsilon[/inlmath] imamo da je [inlmath]|a_n-a|<\varepsilon[/inlmath]. Pošto niz [inlmath]a_n[/inlmath] ima beskonačno mnogo dvojki, neka je [inlmath]a_n=2[/inlmath].
Dakle, [inlmath]|2-a|<\varepsilon[/inlmath]. Međutim, [inlmath]a_n[/inlmath] će se približiti svojoj graničnoj vrednosti [inlmath]a[/inlmath], što znači da [inlmath]2-a\approx0[/inlmath]. Dakle, dobijam da je [inlmath]a\approx[/inlmath] i stižem do kontradikcije.

Profesor mi je rekao da ,,imam dobar pristup", ali da bi bilo bolje da kada budem ispisivao formalan dokaz da krenem od pretpostake da niz konvergira ka nekoj vrednosti [inlmath]a[/inlmath] koja nije [inlmath]2[/inlmath]. Zatim da iz toga zaključim da je [inlmath]|a-2|>0[/inlmath]. Nakon toga mi je rekao da ,,razmislim" o definiciji konvergencije niza (Za bilo koji [inlmath]\varepsilon>0[/inlmath], možemo naći neko [inlmath]N[/inlmath] takvo da kada je [inlmath]n>N[/inlmath] proizilazi da je [inlmath]|a_n-a|<\varepsilon)[/inlmath] i da pokušam da otkrijem kako mi to može pomoći u rešavanju problema.

Međutim, ja iskreno razumem samo način na koji sam prvobitno pristupio zadatku, i nije mi uopšte jasno kako bih mogao da napišem dokaz na osnovu stvari koje mi je profesor rekao.
 
Postovi: 20
Zahvalio se: 22 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Beskonačan niz koji ne konvergira ka dvojci

Postod StefanosDrag » Nedelja, 19. Septembar 2021, 06:52

Sledeći zadatak se, prema rečima mog profesora, rešava na ,,sličan" način kao i prethodni. Međutim, kako ne znam da rešim ni taj prethodni zadatak na pravi način, nisam siguran kako da rešim ovaj.

Ovako glasi: Dokazati da je granična vrednost niza koji konvergira jedinstvena. (Da bi ovo uradio, pretpostavi da imamo niz [inlmath]x_n[/inlmath] takav da [inlmath]x_n[/inlmath] konvergira ka [inlmath]a[/inlmath] i da [inlmath]x_n[/inlmath] konvergira ka [inlmath]b[/inlmath]. Dokaži da je [inlmath]a=b[/inlmath]
U slučaju da nisam nešto preveo kako treba, ovo je originalan zadatak: Show that if a sequence converges, the limit is unique. To do this, assume we have a sequence [inlmath]x_n[/inlmath] such that [inlmath]x_n[/inlmath] converges to [inlmath]a[/inlmath] and [inlmath]x_n[/inlmath] converges to [inlmath]b[/inlmath] and prove that it must be the case that [inlmath]a=b[/inlmath].

Razmišljao sam o tome da li je moguće da ako je [inlmath]\varepsilon[/inlmath] veoma mali broj, da [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] budu u istom otvorenom intervalu. Verujem da je to nemoguće, i da je to ono što bi trebalo da me dovede do kontradikcije u dokazu. Međutim, sve ovo mi deluje nekako prekomplikovano...
 
Postovi: 20
Zahvalio se: 22 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Beskonačan niz koji ne konvergira ka dvojci

Postod Fare » Četvrtak, 23. Septembar 2021, 22:58

Na dobrom si putu. Iskoristi sledeće: [inlmath]\left(\forall\varepsilon\right)\left(\left|x\right|<\varepsilon\right)\;\Longrightarrow\;\left(x=0\right)[/inlmath]
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 8
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 6 puta

Re: Beskonačan niz koji ne konvergira ka dvojci

Postod ubavic » Petak, 24. Septembar 2021, 00:51

Nazire se dobra ideja, ali potrebno je biti mnogo precizniji.

Prvo, oznaka [inlmath]\approx[/inlmath] nije baš elementarni alat. U ovom zadatku je potreno vladanje epsilon-delta tehnikom. Tek kada se ova osnovna tehnika nauči, dozvoljeno je koristiti naprednije tehnike.
StefanosDrag je napisao:Međutim, [inlmath]a_n[/inlmath] će se približiti svojoj graničnoj vrednosti [inlmath]a[/inlmath], što znači da [inlmath]2 - a \approx 0.[/inlmath] Dakle, dobijam da je [inlmath]a \approx[/inlmath] i stižem do kontradikcije.

Ti ovde članove niza zamenjuješ sa [inlmath]2[/inlmath], a zatim korisiš neku asimptotsku oznaku.... Da ne dužim, ovako bi trebalo da se uradi zadatak:


Pretpostavimo da niz [inlmath](a_n)[/inlmath] sadrži beskonačno mnogo dvojki i pritom važi [inlmath]\lim a_n = a \ne 2[/inlmath]. Kako je [inlmath]a \ne 2[/inlmath] to je [inlmath]r=|a-2|>0[/inlmath]. Pošto je [inlmath]\lim a_n = a[/inlmath] sledi da za svako [inlmath]\varepsilon > 0[/inlmath] postoji [inlmath]N\in\mathbb N[/inlmath] tako da je [inlmath]|a - a_n|<\varepsilon[/inlmath] kad god je [inlmath]n\ge N[/inlmath]. Uzmimo da je [inlmath]\varepsilon = \frac r2[/inlmath]. Tada imamo [inlmath]N_0[/inlmath] takvo da je [inlmath]|a -a_n|<\frac r 2[/inlmath] za sve [inlmath]n \ge N_0[/inlmath]. Kako niz [inlmath](a_n)[/inlmath] ima beskonačno mnogo dvojki, to postoji [inlmath]m > N_0[/inlmath] takvo da je [inlmath]a_m =2[/inlmath]. Međutim, kako je [inlmath]m > N_0[/inlmath] sledi da je [inlmath]|a-a_m|<\frac r 2[/inlmath] što je nemoguće jer znamo da je [inlmath]|a-a_m|=|a-2|=r[/inlmath]. Kontradikcija.

Drugi zadatak se na sličan način dokazuje. Pokušaj da ga uradiš na osnovu ovog dokaza
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 584
Zahvalio se: 375 puta
Pohvaljen: 581 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 26. Oktobar 2021, 05:02 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs