Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Algebarsko Svojstvo

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Algebarsko Svojstvo

Postod StefanosDrag » Sreda, 01. Decembar 2021, 00:55

Neka su funkcije [inlmath]f[/inlmath] i [inlmath]g[/inlmath] definisane u domenu [inlmath]A\subseteq \mathbb{R}[/inlmath]. Pretpostavimo da je [inlmath]\lim\limits_{x\to c}{f(x)}=L[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to c}{g(x)}=M[/inlmath] za neku tačku nagomilavanja (eng: limit point) skupa [inlmath]A.[/inlmath] Tada je:
(i) [inlmath]\lim\limits_{x\to c}{kf(x)}=kL[/inlmath] za sve realne brojeve [inlmath]k[/inlmath]
(ii) [inlmath]\lim\limits_{x\to c}{[f(x)+g(x)]}=L+M.[/inlmath]

Dokazati (i) i (ii).

Moj rad:

(i) Neka je [inlmath]\epsilon > 0[/inlmath] proizvoljno. Mi treba da pokažemo da postoji [inlmath]\delta[/inlmath] takva da [inlmath]0 < |x - c| < \delta[/inlmath] implicira [inlmath]|kf(x) - kL| < \epsilon[/inlmath]. Zatim sam primetio da je [inlmath]|kf(x) - kL| = |k(f(x) - L| = k|f(x) - L|,[/inlmath] odakle dobijam da je [inlmath]|f(x) - L| < \frac{\epsilon}{k}.[/inlmath] Međutim, nisam siguran da li uopšte treba ovako da se radi...

(ii) Neka je [inlmath]\epsilon > 0[/inlmath] proizvoljno. Treba da pokažemo da postoji [inlmath]\delta[/inlmath] takva da [inlmath]0 < |x - c| < \delta[/inlmath] implicira [inlmath]|(f(x) + g(x)) - (L + M)| < \epsilon.[/inlmath] Primetimo da je [inlmath]|(f(x) + g(x)) - (L + M)| = |(f(x) - L) + (g(x) - M)| \leq |f(x) - L| + |g(x) - M|.[/inlmath]
Pošto je [inlmath]\lim\limits_{x\to c}{f(x)}=L[/inlmath], znamo da postoji [inlmath]\delta_{1}[/inlmath] takva da [inlmath]0 < |x - c| < \delta_{1}[/inlmath] implicira [inlmath]|f(x) - L| < \frac{\epsilon}{2}.[/inlmath] Takođe, pošto je [inlmath]\lim\limits_{x\to c}{g(x)}=M,[/inlmath] znamo da postoji [inlmath]\delta_{2}[/inlmath] takva da [inlmath]0 < |x - c| < \delta_{2}[/inlmath] implicira [inlmath]|g(x) - M| < \frac{\epsilon}{2}.[/inlmath]
Neka je [inlmath]\delta_{0} = min{\ \delta_{1}, \delta_{2}}.[/inlmath] Tada, [inlmath]0 < |x - c| < \delta_{0}[/inlmath] implicira da [inlmath]|(f(x) + g(x)) - (L + M)| \leq |f(x) - L| + |g(x) - M| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon.[/inlmath]
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Algebarsko Svojstvo

Postod StefanosDrag » Četvrtak, 02. Decembar 2021, 05:40

StefanosDrag je napisao:(i) Neka je ϵ>0 proizvoljno. Mi treba da pokažemo da postoji δ takva da 0<|x−c|<δ implicira |kf(x)−kL|<ϵ. Zatim sam primetio da je |kf(x)−kL|=|k(f(x)−L|=k|f(x)−L|, odakle dobijam da je |f(x)−L|<ϵk.


Mislim da ipak moram da imam [inlmath]|k|[/inlmath] ispred apsolutne zagrade. Dakle, [inlmath]|kf(x)−kL|=|k||f(x)−L| < \epsilon[/inlmath], odakle dobijam da je [inlmath]|f(x)−L| < \frac{\epsilon}{|k|}.[/inlmath] Onda mislim da bi trebalo da imam dva slučaja: kada je [inlmath]k=0[/inlmath] i kada je različito od nule. Primećujem da kada je [inlmath]k=0,[/inlmath] imamo da je [inlmath]|kf(x)−kL| = 0 < \epsilon,[/inlmath] jer je [inlmath]\epsilon > 0.[/inlmath] Verujem da za drugi slučaj takođe moram da nađem [inlmath]\delta[/inlmath], ali mi je taj deo nejasan...
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Algebarsko Svojstvo

Postod rajan » Četvrtak, 02. Decembar 2021, 16:25

Ne znam zasto si slao ovo.Drugi dokaz ti je tacan.Kod prvog si se ispravio kada je u pitanju apsolutna vrijednost,ostalo je sve dobro.
rajan  OFFLINE
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Algebarsko Svojstvo

Postod StefanosDrag » Petak, 03. Decembar 2021, 15:46

rajan je napisao:Ne znam zasto si slao ovo.Drugi dokaz ti je tacan.Kod prvog si se ispravio kada je u pitanju apsolutna vrijednost,ostalo je sve dobro.


Hvala ti na odgovoru! Primetio sam da u prvom zadatku moram da razradim dva slučaja: 1) [inlmath]k = 0[/inlmath] i 2) [inlmath]k \ne 0.[/inlmath] Pošto sam u međuvremenu shvatio kako da rešim 1), još uvek nisam siguran kako da pristupim/rešim slučaj kada [inlmath]k \ne 0.[/inlmath]
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Algebarsko Svojstvo

Postod rajan » Subota, 04. Decembar 2021, 19:10

Oke ako ti je k razlicito od nula ti znas da za svako epsilon postoji delta gdje ti vazi [inlmath]0<|x-a|<delta[/inlmath] i imas da ti je za takve x [inlmath]|f(x)-L|<epsilon[/inlmath]
uzmes proizvoljno k iz R i uzmes proizvoljno epislon kakvo i podijelis ga sa |k| za k razlicito od 0.Jasno je da ces za eps/|k| takodje imati delta za koje ce da ti vrijedi
[inlmath]|f(x)-L|<epsilon/|k|[/inlmath] Sve sto ostaje je da pomozis sa |k| i iskoristis svojstva apsolutne vrijednosti i dobijas na kraju [inlmath]|k*f(x)+k*L|<epsilon[/inlmath]
Na osnovu proizvoljnosti parametara ti si ovo dokazao,tj dokazao da kf(x) kada x tezi a jeste k*L
rajan  OFFLINE
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 2 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 18. Januar 2022, 05:28 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs