-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Daniel za post:
Acim
Reputacija: 4.55%
od Daniel » Nedelja, 01. Januar 2023, 11:31
Iz date rekurentne relacije sledi izraz za recipročnu vrednost [inlmath]a_{n+2}[/inlmath]:
[dispmath]\frac{1}{a_{n+2}}=\frac{2a_{n+1}-a_n}{a_na_{n+1}}\\
\frac{1}{a_{n+2}}=\frac{2}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}[/dispmath] Na osnovu toga napišemo niz jednakosti:
[dispmath]\frac{1}{a_2}=\frac{2}{a_0}-\frac{1}{a_1}\\
\frac{1}{a_3}=\frac{2}{a_1}-\frac{1}{a_2}\\
\frac{1}{a_4}=\frac{2}{a_2}-\frac{1}{a_3}\\
\vdots\\
\frac{1}{a_{n-1}}=\frac{2}{a_{n-3}}-\frac{1}{a_{n-2}}\\
\frac{1}{a_n}=\frac{2}{a_{n-2}}-\frac{1}{a_{n-1}}\\
\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_n}[/dispmath] Prilikom sabiranja levih i desnih strana, mnogo toga će se pokratiti, nakon čega se, uvrštavanjem datih vrednosti [inlmath]a_0[/inlmath] i [inlmath]a_1[/inlmath], dobije međurezultat
[dispmath]\frac{1}{a_{n+1}}=7-\frac{2}{a_n}[/dispmath] Dakle, sad nam je član niza izražen preko samo jednog prethodnog člana. Sada na sličan način ponovimo postupak:
[dispmath]\frac{1}{a_1}=7-\frac{2}{a_0}\\
\frac{1}{a_2}=7-\frac{2}{a_1}\\
\frac{1}{a_3}=7-\frac{2}{a_2}\\
\vdots\\
\frac{1}{a_{n-1}}=7-\frac{2}{a_{n-2}}\\
\frac{1}{a_n}=7-\frac{2}{a_{n-1}}[/dispmath] Da bi sada došlo do skraćivanja, potrebno je da pre sabiranja drugi red podelimo sa [inlmath]-2[/inlmath], treći red podelimo sa [inlmath]2^2[/inlmath], četvrti sa [inlmath]-2^3[/inlmath]... itd. do [inlmath]n[/inlmath]-tog reda koji delimo sa [inlmath](-2)^{n-1}[/inlmath].
Nakon uvrštavanja vrednosti [inlmath]a_0[/inlmath], računanja sume geometrijskog niza i malo sređivanja, dobije se rezultat koji si napisao.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain