Zbir prvih 100 jednakih članova dva niza

od **Frank** » Subota, 09. Maj 2020, 10:43

U aritmetičkim nizovima [inlmath]17,21,25,29,\ldots[/inlmath] i [inlmath]16,21,26,31,\ldots[/inlmath] ima zajedničkih članova. Naći zbir prvih [inlmath]100[/inlmath] takvih članova. Rešenje: [inlmath]S_{100}=101100[/inlmath].
Neka je opšti član prvog niza [inlmath]a_m[/inlmath], a drugog [inlmath]b_n[/inlmath]. Kad njih izjednačim i malo sredim, dobijam
[dispmath]5n-4m=2[/dispmath] Kod ovog koraka se ukopam i ne znam sta dalje da radim?

Hvala!

od **miletrans** » Subota, 09. Maj 2020, 10:55

Ako posmatramo samo članove koji su jednaki, oni će sami za sebe formirati aritmetički niz. Prvi član tog niza će biti [inlmath]21[/inlmath] (zadato u zadatku), a razlika dva uzastopna člana će biti [inlmath]4\cdot5=20[/inlmath]. Dalje mislim da je očigledno.

od **Frank** » Subota, 09. Maj 2020, 11:06

Da, uradio sam i ja na taj način, ali postupak sa početka teme mi je nekako draži, pa bih voleo da ga dovršim.

od **Daniel** » Nedelja, 10. Maj 2020, 21:48

Iz [inlmath]5n-4m=2[/inlmath] možeš izraziti bilo [inlmath]n[/inlmath], bilo [inlmath]m[/inlmath]. Svejedno. Haj'mo da izrazimo [inlmath]n[/inlmath] (potpuno analogno bi se radilo i da smo izrazili [inlmath]m[/inlmath]):
[dispmath]n=\frac{4m+2}{5}=m-\frac{m-2}{5}[/dispmath] Odavde sledi da [inlmath]\frac{m-2}{5}[/inlmath] mora biti ceo broj, tj. da je
[dispmath]m-2=5p,\quad p\in\mathbb{Z}\\
\Longrightarrow\quad\underline{m=5p+2}[/dispmath] (Mada nema potrebe, sada možemo naći izraz i za [inlmath]n[/inlmath], uvrštavanjem ovog izraza: [inlmath]n=\frac{4m+2}{5}=\frac{4(5p+2)+2}{5}=4p+2[/inlmath].)

Prvi član novog niza (obeležimo ga sa [inlmath]c_1[/inlmath]) imaćemo kada je [inlmath]m=2[/inlmath] tj. kada je [inlmath]p=0[/inlmath], drugi član novog niza imaćemo za [inlmath]p=1[/inlmath],... a stoti član ćemo imati za [inlmath]p=99[/inlmath], pri čemu je
[dispmath]c_{100}=a_{5\cdot99+2}=a_{497}=a_1+496\cdot4=2001[/dispmath] Sada se lako odredi suma prvih [inlmath]100[/inlmath] članova novog niza, po formuli [inlmath]S_{100}=\frac{100}{2}(c_1+c_{100})[/inlmath].

Pa, ako ti je ovaj način i nakon svega ovoga „draži“ od miletransovog načina – onda, srećno...

od **Frank** » Ponedeljak, 11. Maj 2020, 21:33

Daniel je napisao:Pa, ako ti je ovaj način i nakon svega ovoga „draži“ od miletransovog načina – onda, srećno...

Hvala!

Nisam bas ocekivao ovo.

od **Frank** » Utorak, 09. Jun 2020, 20:05

ETF-2010.

od **lastav1ca** » Subota, 20. Maj 2023, 15:16

* MOD EDIT * Spojene dve teme s istim zadatkom

Neki članovi aritmetičkih progresija [inlmath]17,21,25,\ldots[/inlmath] i [inlmath]16,21,26,\ldots[/inlmath] su jednaki. Naći zbir prvih [inlmath]100[/inlmath] jednakih članova ovih progresija.
Vidi se da je:

Korak za prvu progresiju:
[dispmath]d_1=4[/dispmath] Korak za drugu progresiju:
[dispmath]d_2=5[/dispmath] Kako bismo uopšte našli prvih [inlmath]100[/inlmath] jednakih članova, bez da ispisujemo svaki

?

od **miletrans** » Subota, 20. Maj 2023, 20:22

Pozdrav i dobro nam došao.

Mislim da bi najjednostavniji pristup bio da se formira treći niz koji bi obuhvatao samo one članove dva zadata niza koji su jednaki. Prvi član tog trećeg niza bi bio prvi jednaki član u dva zadata niza (u ovom slučaju [inlmath]21[/inlmath]), a korak (razlika) bi bio [inlmath]NZS[/inlmath] za [inlmath]d_1[/inlmath] i [inlmath]d_2[/inlmath].

od **Frank** » Nedelja, 21. Maj 2023, 11:18

Imali smo identican zadatak ovde.

od **Daniel** » Četvrtak, 25. Maj 2023, 11:29

Frank je napisao:Hvala! Nisam bas ocekivao ovo.

Sada, tri godine nakon što sam ponudio to rešenje, vidim da bi se postupak značajno uprostio ako bismo, kako je miletrans uočio, odmah proglasili [inlmath]21[/inlmath] kao prvi član oba niza (tj. zanemarili bismo [inlmath]17[/inlmath] iz prvog i [inlmath]16[/inlmath] iz drugog niza), i tada bismo imali
[dispmath]md_1=nd_2[/dispmath] gde je [inlmath]d_1[/inlmath] razlika prvog niza, [inlmath]d_2[/inlmath] razlika drugog niza, a [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] neki prirodni brojevi, takvi da jednakost bude zadovoljena. Pri tome, [inlmath]md_1[/inlmath] (tj. [inlmath]nd_2[/inlmath]) predstavlja razliku novoformiranog niza čiji zbir prvih sto članova tražimo). Uvrštavanjem [inlmath]d_1=4[/inlmath] i [inlmath]d_2=5[/inlmath],
[dispmath]4m=5n[/dispmath] Pošto je desna strana deljiva sa [inlmath]5[/inlmath], mora biti i leva. A pošto na levoj strani [inlmath]4[/inlmath] nije deljivo sa [inlmath]5[/inlmath], znači da [inlmath]m[/inlmath] mora biti deljivo sa [inlmath]5[/inlmath].
Istim rezonom dolazimo i do toga da [inlmath]n[/inlmath] mora biti deljivo sa [inlmath]4[/inlmath].
Dakle, [inlmath]m=5k[/inlmath] i [inlmath]n=4l[/inlmath], gde je [inlmath]k,l\in\mathbb{N}[/inlmath]. Odatle je [inlmath]md_1=20k[/inlmath] i [inlmath]nd_2=20l[/inlmath]. Odatle dobijamo da je razlika novoformiranog niza jednaka [inlmath]20[/inlmath]. U opštem slučaju bismo dobili da je razlika novoformiranog niza, kako miletrans reče, jednaka [inlmath]\text{NZS}(d_1,d_2)[/inlmath].

Zbir prvih 100 jednakih članova dva niza

Zbir prvih 100 jednakih članova dva niza

Sharuj ovu temu na:

Re: Zbir prvih 100 jednakih članova dva niza

Re: Zbir prvih 100 jednakih članova dva niza

Re: Zbir prvih 100 jednakih članova dva niza

Re: Zbir prvih 100 jednakih članova dva niza

Re: Zbir prvih 100 jednakih članova dva niza

Odredi zbir prvih 100 jednakih članova

Re: Odredi zbir prvih 100 jednakih članova

Re: Odredi zbir prvih 100 jednakih članova

Re: Zbir prvih 100 jednakih članova dva niza

Ko je OnLine