Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Matematička indukcija, nejednakost

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Matematička indukcija, nejednakost

Postod Nikolija Obradović » Subota, 22. Jun 2024, 18:37

Pozdrav!
Treba mi pomoc oko sledećeg primera.
Dokazati da za prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] vazi nejednakost:
[dispmath]\frac{3\cdot7\cdot11\cdots(4n-1)}{5\cdot9\cdot13\cdots(4n+1)}<\sqrt\frac{3}{4n+3}[/dispmath] Uspevam da proverim da nejednakost vazi za [inlmath]n=1[/inlmath] ali se posle toga pogubim pogotovo kada treba da dokažem da nejednakost vazi za [inlmath]n+1[/inlmath]. Uspevam da iskoristim pretpostavku za [inlmath]n[/inlmath] ali dalje od toga ne.
Hvala na pomoći!
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Matematička indukcija, nejednakost

Postod Daniel » Nedelja, 23. Jun 2024, 01:58

[inlmath]T(k+1)[/inlmath] bi, dakle, glasio
[dispmath]\frac{3\cdot7\cdot11\cdots(4k-1)}{5\cdot9\cdot13\cdots(4k+1)}\cdot\frac{4k+3}{4k+5}<\sqrt\frac{3}{4k+7}[/dispmath] i to je ono što treba dokazati.

Prema indukcionoj pretpostavci [inlmath]T(k)[/inlmath], prvi razlomak na levoj strani je manji od [inlmath]\displaystyle\sqrt\frac{3}{4k+3}[/inlmath], te za levu stranu možemo pisati
[dispmath]\frac{3\cdot7\cdot11\cdots(4k-1)}{5\cdot9\cdot13\cdots(4k+1)}\cdot\frac{4k+3}{4k+5}<\frac{4k+3}{4k+5}\sqrt\frac{3}{4k+3}=\frac{\sqrt{3(4k+3)}}{4k+5}[/dispmath] Preostalo je još da dokažeš da je [inlmath]\displaystyle\frac{\sqrt{3(4k+3)}}{4k+5}<\sqrt\frac{3}{4k+7}[/inlmath], što pretpostavljam da ti neće biti problem da uradiš.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9323
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5173 puta
Pohvaljen: 4960 puta

Re: Matematička indukcija, nejednakost

Postod Nikolija Obradović » Nedelja, 23. Jun 2024, 08:32

Nisam baš sigurna kako.
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Matematička indukcija, nejednakost

Postod jans » Nedelja, 23. Jun 2024, 12:07

Da li misliš na poslednju nejednakost?
Trebalo bi da pitanja budu precizna i konkretna. Bilo bi dobro da u poruci napišeš ( bar delimično ) postupak koji si primenila u rešavanju i da kažeš šta pričinjava problem ( komentar se odnosi i na prvu poruku, onu kojom si otvorila ovu temu ). ( Pogledaj Pravilnik foruma, pravilo 6. "Klikni" na to pravilo da bi ga videla u celini.) Inače ti "štediš" svoje vreme, a ne vodiš računa o vremenu člana koji ti pomaže ( pa osoba koja pokušava da ti pomogne mora više da piše i da ti možda objašnjava nešto što nije potrebno zato što to znaš ).
Pretpostavljam da ne znaš kako da dokažeš poslednju nejednakost koju je u postu napisao Daniel. Primeni činjenicu da od dva pozitivna broja, manji broj ima manji kvadrat a važi i obrnuto, odnosno matematički zapisano
[dispmath](a>0 \land b>0) \Rightarrow (a<b \Leftrightarrow a^2<b^2).[/dispmath] Drugim rečima, "Kvadriraj" tu nejednakost a onda je uprosti. Nešto će se skratiti, nešto oduzeti, a na kraju ćeš imati nejednakost koja je očigledno tačna.
jans  OFFLINE
 
Postovi: 38
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 45 puta

Re: Matematička indukcija, nejednakost

Postod Nikolija Obradović » Nedelja, 23. Jun 2024, 18:18

Da, mislila sam na poslednji korak. Hvala puno!
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 16. Jul 2024, 02:35 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs