Re: Zadaci s aritmetičkim nizovima

od blake » Petak, 08. Februar 2013, 00:10

Puno ti hvala. I dalje je ovo teško. Kombinirat ovoliko jednadžbi je
Ali nisam dobro prepisa i neću ni pričat više o svojoj koncentraciji

Šta se tiče prvog zadatka;

Daniel je napisao:Na isti način možemo odmah naći i [inlmath]a_{n-1}[/inlmath], pa možemo znatno pojednostaviti postupak.
[dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)[/dispmath][dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left(a_2-d+a_{n-1}+d\right)[/dispmath]

Na koji to način? Ne razumin.
Ne mogu nikako skužit zašto si uvrstia da se zbraja; [inlmath]a_2-d+a_{n-1}+d[/inlmath].

• +2

  Ovi korisnici su zahvalili autoru Milovan za post (ukupno 2):
  blake, Daniel

  Reputacija: 8.7%

Re: Zadaci s aritmetičkim nizovima

od Milovan » Petak, 08. Februar 2013, 00:33

Susedni članovi aritmetičkog niza se razlikuju za istu vrednost.
[dispmath]a_n=a_{n-1}+d[/dispmath]
[inlmath]a_2=a_1+d[/inlmath], tj. [inlmath]a_1=a_2-d[/inlmath]

Zato je [inlmath]a_1+a_n=a_2+a_{n-1}[/inlmath]

Tako recimo ako imaš niz od prvih hiljadu prirodnih brojeva važi:
[inlmath]1+1000[/inlmath]
[inlmath]2+999[/inlmath]
[inlmath]3+998[/inlmath]

Zbir je stalno isti.
To je specifično svojstvo aritmetičkih nizova.

Ovde smo iskoristili to što znamo drugi i pretposlednji član i tako znatno skratili rešenje.

• +1

  Ovi korisnici su zahvalili autoru Daniel za post:
  Milovan

  Reputacija: 4.35%

Re: Zadaci s aritmetičkim nizovima

od Daniel » Petak, 08. Februar 2013, 00:52

Sad si me, Milovane, podsetio na onu anegdotu o jednom čuvenom matematičaru (mislim da je bio Gauss, nisam siguran, ispravi me ako je neko drugi), koji je, još kao školarac, pokazao svoj talenat za matematiku. Učitelj im na početku časa zadao da izračunaju zbir svih brojeva od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]100[/inlmath] i dao im na raspolaganje ceo školski čas. I on sad mislio, dok ovi računaju, on će lepo da odmara, rešavaće ukrštene reči i štatijaznam... Kad, posle pet minuta, diže ručicu taj đak i kaže, ja izračunao... Učitelj, u neverici, uzeo da to pogleda, kad ono, učenik lepo grupisao brojeve: [inlmath]1[/inlmath] sa [inlmath]100[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] sa [inlmath]99[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] sa [inlmath]98[/inlmath]... i tako sve do [inlmath]50[/inlmath] sa [inlmath]51[/inlmath]. I kaže, zbir svaka ta dva broja je [inlmath]101[/inlmath], a tih parova ukupno ima [inlmath]50[/inlmath]. Znači, cela suma iznosi [inlmath]50\cdot 101[/inlmath], tj. [inlmath]5050[/inlmath]. Učitelj, sav oduševljen, rekao mu, ti ćeš, kad odrasteš, biti poznati matematičar. I bio je u pravu.

Re: Zadaci s aritmetičkim nizovima

od Milovan » Petak, 08. Februar 2013, 01:00

Da, to se pripisuje Gausu.

Mada mene ovo više asocira na jedan od dokaza formule za zbir aritmetičkog niza [inlmath]S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)[/inlmath].
Taj dokaz se upravo zasniva na grupisanju početnih i krajnjih članova, kojim je zbir stalno isti, pa odatle dobijemo formulu.

Re: Zadaci s aritmetičkim nizovima

od blake » Petak, 08. Februar 2013, 01:19

Re: Zadaci s aritmetičkim nizovima

od blake » Nedelja, 14. April 2013, 13:21

• +1

  Ovi korisnici su zahvalili autoru Daniel za post:
  blake

  Reputacija: 4.35%

Re: Zadaci s aritmetičkim nizovima

od Daniel » Nedelja, 14. April 2013, 15:37

Prvi član niza ti je [inlmath]a_1=24,2-0,6\cdot 1[/inlmath], pa se kod njega [inlmath]0,6[/inlmath] oduzima od [inlmath]24,2[/inlmath].

Imaš taj zadatak već komplet urađen ovde.

Re: Zadaci s aritmetičkim nizovima

od Domaćin » Četvrtak, 02. Maj 2013, 13:20

• +1

  Ovi korisnici su zahvalili autoru Daniel za post:
  Domaćin

  Reputacija: 4.35%

Re: Zadaci s aritmetičkim nizovima

od Daniel » Četvrtak, 02. Maj 2013, 13:43

Paaa... Blizu si. Omašio si za [inlmath]2[/inlmath].

Formula za zbir prvih [inlmath]n[/inlmath] članova aritmetičkog niza:
[dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)[/dispmath]
a nama se traži zbir prvih [inlmath]10[/inlmath] članova:
[dispmath]S_{10}=\frac{10}{2}\left(a_1+a_{10}\right)=5\left(a_1+a_1+9d\right)=10a_1+45d[/dispmath]
[inlmath]d[/inlmath] nađemo preko [inlmath]a_5[/inlmath] i [inlmath]a_6[/inlmath] koji su nam poznati:
[dispmath]a_6=a_5+d[/dispmath][dispmath]4=5+d[/dispmath][dispmath]d=-1[/dispmath]
Odatle nađemo i [inlmath]a_1[/inlmath]:
[dispmath]a_5=a_1+4d[/dispmath][dispmath]5=a_1-4[/dispmath][inlmath]a_1=9[/inlmath]
pa to vratimo u izraz za sumu:
[dispmath]S_{10}=10a_1+45d[/dispmath][dispmath]S_{10}=90-45[/dispmath][dispmath]\underline{S_{10}=45}[/dispmath]

Re: Zadaci s aritmetičkim nizovima

od Domaćin » Četvrtak, 02. Maj 2013, 13:59

Sada sam i ja dobio [inlmath]45[/inlmath], ali sam računao na neki svoj način.
[dispmath]a_1=9,\;a_2=8,\;a_3=7,\;a_4=6,\;a_5=5,\;a_6=4,\;a_7=3,\;a_8=2,\;a_9=1,\;a_{10}=0[/dispmath]