blake je napisao:1.
[dispmath]a_n=\frac{3^n\cdot n!}{n^n}[/dispmath]
S D Alambertovim kriterijem dodjem do [inlmath]\frac{0}{2}[/inlmath] i red konvergira ?
Ne znam kako si došao do [inlmath]\frac{0}{2}[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3^{n+1}\cdot\left(n+1\right)!}{\left(n+1\right)^{n+1}}}{\frac{3^n\cdot n!}{n^n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}\cdot\left(n+1\right)!\cdot n^n}{\left(n+1\right)^{n+1}\cdot 3^n\cdot n!}=\lim_{n\to\infty}\frac{3\cdot\cancel{3^n}\cdot\cancel{\left(n+1\right)}\cdot\cancel{n!}\cdot n^n}{\cancel{\left(n+1\right)}\cdot\left(n+1\right)^n\cdot\cancel{3^n}\cdot\cancel{n!}}=[/dispmath][dispmath]=3\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=3\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^n=3\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{3}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{3}{e}>1[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow[/inlmath] red divergira.
blake je napisao:2.
[dispmath]a_n=\cos\frac{1}{\sqrt{n+1}}[/dispmath]
Tu dodjem do [inlmath]\cos 0[/inlmath] kada stavim opci clan u limes kad [inlmath]n[/inlmath] ide u beskonacno
Tako je, a pošto je [inlmath]\cos 0=1[/inlmath], znači da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=1[/inlmath], prema tome, nije ispunjen neophodan uslov za konvergenciju reda (koji glasi da mora biti [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0[/inlmath]), pa zaključujemo da red divergira.
