A što se tiče ovog drugog, iskoristi sledeći indentitet i sve će ti biti jasno.
[dispmath]q^4+q^2+1=\left(q^2-q+1\right)\left(q^2+q+1\right)[/dispmath]

E to, koji je to indentitet? Mislim da ga nismo baš koristili do sad

Nisam mislio na identitet kao neku ustaljenu formulu nego kao jednakost. Koja se, uzgred, vrlo lako dokazuje, samo što sam hteo da dokaz prepustim tebi. Ali, evo.
[dispmath]q^4+q^2+1=q^4+q^2+1+q^2-q^2=q^4+2q^2+1-q^2=\left(q^2+1\right)^2-q^2=\left(q^2+q+1\right)\left(q^2-q+1\right)[/dispmath]

U geometrijskom nizu je [inlmath]S_3=40,\;S_6=60[/inlmath]. Koliko je [inlmath]S_9[/inlmath]?

Dobia sam dvi jednadžbe pomoću formule za broj prvih [inlmath]n[/inlmath] članova geo. niza;
[dispmath]\begin{array}{l}
a_1\left(q^3-1\right)=40(q-1)\\
\underline{a_1\left(q^6-1\right)=60(q-1)}\\
a_1\left(q^3-1\right)=40(q-1)\\
\underline{a_1\left(q^3-1\right)\left(q^3+1\right)=60(q-1)}\\
\frac{1}{q^3+1}=\frac{4}{6}\\
q^3=\frac{1}{2}
\end{array}[/dispmath]
I sad u knjizi piše za rješenje [inlmath]S_9=S_6+20\cdot\frac{1}{2}=70[/inlmath]
Ko će mi prevest šta se dogodi u zadnjem koraku?

Mislim da je najlakše da se ovako nastavi...
[dispmath]S_9=a_1\frac{q^9 -1}{q-1}[/dispmath]
[dispmath]S_9=a_1\frac{\left(q^3-1\right)\left(q^6+q^3+1\right)}{q-1}[/dispmath][dispmath]S_9=a_1\frac{q^3-1}{q-1}\cdot\left(q^6+q^3+1\right)[/dispmath]
[dispmath]S_9=S_3\cdot\left(q^6+q^3+1\right)[/dispmath]
[dispmath]S_9=40\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)[/dispmath][dispmath]S_9=40\cdot\frac{7}{4}[/dispmath]
[dispmath]S_9=70[/dispmath]

1. Zbir [inlmath]3[/inlmath] broja kojii obrazuju rastucu geometrijsku progresiju je [inlmath]126[/inlmath]. Ako je srednji član [inlmath]24[/inlmath], najmanji član jednak je...?

2. Brojevi [inlmath]a_1,a_2,a_3[/inlmath] su tri uzastopna člana geometrijske progresije s količnikom [inlmath]q=2[/inlmath], a brojevi [inlmath]a_2,a_3,a_4[/inlmath] su tri uzastopna člana aritmetičke progresije s razlikom [inlmath]d=6[/inlmath]. Zbir [inlmath]a_1+a_2+a_3+a_4[/inlmath] je...?

3. Brojevi [inlmath]a_1,a_2,\dots ,a_{21}[/inlmath] čine aritmeticku progresiju. Poznato je da je zbir članova ove aritmetičke progresije sa neparnim indeksima za [inlmath]15[/inlmath] veći od zbira članova sa parnim indeksima. Ako je [inlmath]a_{20}=3a_9[/inlmath], onda je zbir cifara srednjeg člana ove progresije jednak...?

4. Prvi članovi geometrijske progresije i strogo rastuće aritmetičke progresije jednaki su [inlmath]2[/inlmath]. Treći članovi tih progresija takodje su jednaki. Ako je drugi član A- niza za [inlmath]4[/inlmath] veći od drugog člana g-progresije, onda je zbir njihovih četvrtih članova jednak?

5. Prvi, treći i sedmi član aritmetičke progresije čine prva tri člana geometrijske progresije. Četvrti član geometrijske progresije je u a-progresiji?

smAshh je napisao:1. Zbir [inlmath]3[/inlmath] broja kojii obrazuju rastucu geometrijsku progresiju je [inlmath]126[/inlmath]. Ako je srednji član [inlmath]24[/inlmath], najmanji član jednak je...?

Na osnovu ovih podataka članove niza možemo pisati kao [inlmath]\frac{24}{q}[/inlmath], [inlmath]24[/inlmath], [inlmath]24q[/inlmath], gde je [inlmath]q>1[/inlmath], jer se radi o rastućoj progresiji.

Sabereš ih i zbir izjednačiš sa [inlmath]126[/inlmath]. Dobićeš kvadratnu jednačinu po [inlmath]q[/inlmath], koja će imati dva realna rešenja, pri čemu odbacuješ ono koje je manje od jedinice, zbog početnog uslova [inlmath]q>1[/inlmath]. Rešenje koje ostaje biće [inlmath]q=4[/inlmath] i na osnovu toga se odmah vidi i koliki će biti najmanji član niza.

smAshh je napisao:2. Brojevi [inlmath]a_1,a_2,a_3[/inlmath] su tri uzastopna člana geometrijske progresije s količnikom [inlmath]q=2[/inlmath], a brojevi [inlmath]a_2,a_3,a_4[/inlmath] su tri uzastopna člana aritmetičke progresije s razlikom [inlmath]d=6[/inlmath]. Zbir [inlmath]a_1+a_2+a_3+a_4[/inlmath] je...?

Kao i uvek, svaki podatak na koji naiđemo u tekstu odmah izrazimo u obliku jednačine.

Iz podatka da su brojevi [inlmath]a_1[/inlmath], [inlmath]a_2[/inlmath], [inlmath]a_3[/inlmath] tri uzastopna člana geometrijske progresije s količnikom [inlmath]q=2[/inlmath], pišemo dve jednačine:
[dispmath]a_2=2a_1\\
a_3=2a_2[/dispmath]
a iz podatka da su brojevi [inlmath]a_2[/inlmath], [inlmath]a_3[/inlmath], [inlmath]a_4[/inlmath] tri uzastopna člana aritmetičke progresije s razlikom [inlmath]d=6[/inlmath], pišemo sledeće dve jednačine:
[dispmath]a_3=a_2+6\\
a_4=a_3+6[/dispmath]
i imamo sistem od [inlmath]4[/inlmath] jednačine s [inlmath]4[/inlmath] nepoznate. Kada ga rešiš, dobićeš vrednosti sva ova četiri broja, nakon čega ih samo sabereš, budući da se u zadatku traži njihov zbir.

HINT: Pri rešavanju ovog sistema, najlakše ti je da prvo nađeš [inlmath]a_2[/inlmath], izjednačavajući desne strane druge i treće jednačine.

smAshh je napisao:3. Brojevi [inlmath]a_1,a_2,\dots ,a_{21}[/inlmath] čine aritmeticku progresiju. Poznato je da je zbir članova ove aritmetičke progresije sa neparnim indeksima za [inlmath]15[/inlmath] veći od zbira članova sa parnim indeksima. Ako je [inlmath]a_{20}=3a_9[/inlmath], onda je zbir cifara srednjeg člana ove progresije jednak...?

To znači da niz [inlmath]a_1,\:a_2,\:\dots\:,\:a_{21}[/inlmath] podeliš na dva podniza – jedan s neparnim, a drugi s parnim indeksima. Podniz s neparnim indeksima imaće [inlmath]11[/inlmath] članova, a podniz s parnim indeksima imaće [inlmath]10[/inlmath] članova.

Sa [inlmath]S_N[/inlmath] označiš sumu članova podniza s neparnim indeksima, a sa [inlmath]S_P[/inlmath] sumu članova niza s parnim indeksima.

Tada će važiti
[dispmath]S_N=\frac{11}{2}\left(a_1+a_{21}\right)[/dispmath][dispmath]S_P=\frac{10}{2}\left(a_2+a_{20}\right)[/dispmath]
Članove [inlmath]a_2[/inlmath], [inlmath]a_{20}[/inlmath] i [inlmath]a_{21}[/inlmath] izraziš preko [inlmath]a_1[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath], uvrstiš u izraze za ove dve sume, središ, iskoristiš poznat podatak da je [inlmath]S_N=S_P+15[/inlmath], opet to malo središ i dobijaš jednačinu
[dispmath]a_1+10d=15[/dispmath]
Iz podatka [inlmath]a_{20}=3a_9[/inlmath] (kada i u tom izrazu [inlmath]a_{20}[/inlmath] i [inlmath]a_9[/inlmath] izraziš preko [inlmath]a_1[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath]) dobijaš drugu jednačinu
[dispmath]2a_1+5d=0[/dispmath]
koja, zajedno s prethodnom jenačinom, čini sistem od dve jednačine s dve nepoznate ([inlmath]a_1[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath]).

Kad rešiš taj sistem, dobićeš [inlmath]a_1=-5[/inlmath] i [inlmath]d=2[/inlmath].

Sada lako odrediš vrednost srednjeg člana ovog niza (a srednji član je [inlmath]a_{11}[/inlmath]). Sabereš zatim njegove cifre i to je ono što se traži u zadatku. Rezultat treba da bude [inlmath]6[/inlmath].

smAshh je napisao:4. Prvi članovi geometrijske progresije i strogo rastuće aritmetičke progresije jednaki su [inlmath]2[/inlmath]. Treći članovi tih progresija takodje su jednaki. Ako je drugi član A- niza za [inlmath]4[/inlmath] veći od drugog člana g-progresije, onda je zbir njihovih četvrtih članova jednak?

Isto kao i u prethodnim zadacima, pišeš jednačine, pri čemu članove geometrijske progresije označiš, recimo, sa [inlmath]g_n[/inlmath], a članove aritmetičke sa [inlmath]a_n[/inlmath].

Prvi članovi geometrijske i aritmetičke progresije iznose [inlmath]2[/inlmath]:
[dispmath]g_1=2\\
a_1=2[/dispmath]
Treći članovi su jednaki:
[dispmath]g_3=a_3[/dispmath]
[inlmath]2.[/inlmath] član aritmetičkog niza veći je za [inlmath]4[/inlmath] od [inlmath]2.[/inlmath] člana geometrijske progresije:
[dispmath]a_2=g_2+4[/dispmath]
Iskoristili smo sve podatke iz zadatka i dobili sistem od [inlmath]4[/inlmath] jednačine sa [inlmath]6[/inlmath] nepoznatih. Fale nam još dve jednačine da bismo imali sistem [inlmath]6\times 6[/inlmath]. Dodatne dve jednačine biće osobine članova aritmetičkog i geometrijskog niza:
[dispmath]a_1+a_3=2a_2\\
g_1g_3=g_2^2[/dispmath]
Rešavanjem ovog sistema jednačina dobićeš kvadratnu jednačinu po [inlmath]a_2[/inlmath], koja će imati dva realna rešenja. Jedno rešenje će otpasti zbog uslova da je aritmetička progresija strogo rastuća (što znači da [inlmath]a_2[/inlmath] mora biti strogo veće od [inlmath]a_1[/inlmath]), a rešenje koje preostaje će biti [inlmath]a_2=10[/inlmath]. Na osnovu toga možeš lako odrediti sve članove geometrijskog i aritmetičkog niza, uključujući i četvrte članove, koje zatim samo sabereš i njihov zbir će biti traženi rezultat (treba da ispadne [inlmath]80[/inlmath]).

smAshh je napisao:5. Prvi, treći i sedmi član aritmetičke progresije čine prva tri člana geometrijske progresije. Četvrti član geometrijske progresije je u a-progresiji?

Jednačine:
[dispmath]a_1=g_1\\
a_3=g_2\\
a_7=g_3[/dispmath]
Na osnovu osobina aritmetičkog i geometrijskog niza:
[dispmath]a_3=a_1+2d\\
a_7=a_1+6d\\
g_2^2=g_1g_3[/dispmath]
Pošto imamo [inlmath]6[/inlmath] jednačina a [inlmath]7[/inlmath] nepoznatih, ne možemo odrediti tačne vrednosti članova jednog i drugog niza, ali ih možemo sve izraziti preko [inlmath]a_1[/inlmath].

Rešavanjem ovog sistema dobijamo
[dispmath]d=\frac{a_1}{2}[/dispmath]
iz čega lako odredimo i ostale članove niza u funkciji od [inlmath]a_1[/inlmath]:
[dispmath]a_3=2a_1\\
a_7=4a_1[/dispmath]
pa odatle zaključujemo da je količnik geometijskog niza [inlmath]q=2[/inlmath], kao i da će [inlmath]4.[/inlmath] član geometrijskog niza biti [inlmath]g_4=8g_1=8a_1[/inlmath].
Treba naći koji član aritmetičkog niza će biti jednak [inlmath]4.[/inlmath] članu geometrijskog, tj. koji član aritmetičkog niza će biti jednak [inlmath]8a_1[/inlmath].
[dispmath]a_n=8a_1\\
a_1+\left(n-1\right)d=8a_1\\
a_1+\left(n-1\right)\frac{a_1}{2}=8a_1\\
\cdots\\
n=15[/dispmath]
što znači da će [inlmath]15.[/inlmath] član aritmetičkog niza biti jednak [inlmath]4.[/inlmath] članu geometrijskog niza.

Zbog cega se u ovom prvom zadatku prvi clan pise kao [inlmath]\frac{24}{d}[/inlmath], a treci [inlmath]24d[/inlmath]? To mi nije bas jasno...

Zbog toga što se radi o geometrijskom nizu, a za članove geometrijskog niza važi
[dispmath]a_2=a_1\cdot q\\
a_3=a_2\cdot q[/dispmath]
Pošto nam je dato da je [inlmath]a_2=24[/inlmath], onda važi
[dispmath]a_2=a_1\cdot q\quad\Rightarrow\quad 24=a_1\cdot q\quad\Rightarrow\quad a_1=\frac{24}{q}\\
a_3=a_2\cdot q\quad\Rightarrow\quad a_3=24\cdot q[/dispmath]
Možda te je zbunilo to što sam ja, greškom, za količnik geometrijskog niza koristio oznaku [inlmath]d[/inlmath], iako je uobičajeno da se koristi oznaka [inlmath]q[/inlmath], a sa [inlmath]d[/inlmath] se označava razlika aritmetičkog niza. Evo sad sam to ispravio, da te ne buni.