eseper je napisao:Inače, sjetio sam se da sam imao sličan zadatak koji je i bio postavljen na forumu. Malo pogledam i evo ga. Identičan.

Vid' stvarno... I to još iz ovog meseca... Al' sam ja izlapetis kad ga se uopšte ne sećam...

eseper je napisao:[dispmath]\sum (n!)^2\,\ln\left(1+\frac{2^n}{n^{2n}}\right)[/dispmath]
Ovaj će biti dosta teži

D'Alembert. Faktorijeli se fino pokrate i ostane [inlmath]\left(n+1\right)^2[/inlmath] koji zatim ubaciš unutar logaritma kao eksponent. Svedeš odgovarajuće izraze u brojiocu i imeniocu tako da teže ka [inlmath]e[/inlmath], kako bi se oslobodio logaritama... Kao rezultat se dobje [inlmath]\frac{2}{e^2}[/inlmath].

Ostane mi ovo:
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{e^{\frac{(n+1)^2\left(2^{n+1}\right)}{(n+1)^{2n}}}}{e^{\frac{2n}{n^{2n}}}}[/dispmath]
i što dalje?

Hm, di ti nestadoše logaritmi?
I, mislim da si omašio jedan eksponent...

Da, izostavio sam logaritam... Onda, tražimo limes samo iz ovih eksponenata, jer kad eksponent pređe ispred logaritma, ostaje i u brojniku i u nazivniku [inlmath]\ln e[/inlmath].

Eksponente sam opet prekontrolirao i ne nalazim grešku I nije mi jasno kako se u rezultatu može pojaviti [inlmath]e[/inlmath] kada ga se rješimo prethodno

eseper je napisao:Eksponente sam opet prekontrolirao i ne nalazim grešku

Trebalo bi da bude
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{\left(n+1\right)^2\cdot 2^{n+1}}{\left(n+1\right)^{2{\color{red}\left(n+1\right)}}}}{\frac{2n}{n^{2n}}}[/dispmath]

eseper je napisao:I nije mi jasno kako se u rezultatu može pojaviti [inlmath]e[/inlmath] kada ga se rješimo prethodno

Mi se rešimo tog prvobitnog [inlmath]e[/inlmath], ali ko kaže da iz izraza oblika [inlmath]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/inlmath] ne može nastati neko novo [inlmath]e[/inlmath]?

Da, u pravu si. Kada sve to sredim, u brojniku i nazivniku dobijem eksponent sa [inlmath]2n[/inlmath] i to opet svedem na gore spomenuti izraz iz čega se dobije [inlmath]e^{-2}[/inlmath]. Odnosno, gore ostaje [inlmath]2[/inlmath], a dole ode taj [inlmath]e[/inlmath] i eto ispravnog rješenja

Evo malo laksi zadaci

1. i 2. sam uradio. Nadam se da je dobro, a sa trecim ne znam sta da radim kad dobijem da je limes jednak [inlmath]0[/inlmath]. :/ Nesto prosto sigurno, al' ne zamerite, tek sam poc'o.

1.
[dispmath]\sum_{n=1}^\infty\frac{(n!)^2}{(2n)!}[/dispmath]
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{(n+1)!))^2}{(2n+2)!}}{\frac{(n!)^2}{((2n)!}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+1)^2\cancel{(n!)^2}}{(2n+2)(2n+1)(\cancel{(2n)!}}}{\frac{\cancel{(n!)^2}}{\cancel{(2n)!}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}\approx\frac{n^2}{4n^2}=\frac{1}{4},[/dispmath]
Manje od [inlmath]1\:\Rightarrow[/inlmath] Konvergira.

2.
[dispmath]\sum_{n=1}^\infty\cos\frac{1}{n^2}[/dispmath]
[inlmath]\lim\limits_{n\to\infty} \cos\frac{1}{n^2} = 1 \ne 0\:\Rightarrow[/inlmath] Divergira

3.
[dispmath]\sum_{n=1}^\infty\sin\frac{n}{n^3+n^2+2}[/dispmath]

[inlmath]1.[/inlmath] i [inlmath]2.[/inlmath] su OK, s tim da ću ja sad opet malo da budem cepidlaka.

PocetnikSRB je napisao:[dispmath]\cdots =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}\approx\frac{n^2}{4n^2}=\cdots[/dispmath]

Ovo nikako nemoj ovako da pišeš. Limes nečega je, ako postoji, tačno određena vrednost, tj. nije približno jednaka nekom drugom izrazu.
Ovaj limes bi bilo najpravilnije izračunati tako što i brojilac i imenilac podelimo sa [inlmath]n^2[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\left(n+1\right)^2}{\left(2n+2\right)\left(2n+1\right)}=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\frac{n+1}{n}\right)^2}{\frac{2n+2}{n}\cdot\frac{2n+1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}\right)^2}{\left(2+\cancelto{0}{\frac{2}{n}}\right)\left(2+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}\right)}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}[/dispmath]

PocetnikSRB je napisao:3.
[dispmath]\sum_{n=1}^\infty\sin\frac{n}{n^3+n^2+2}[/dispmath]

Ovo možemo rešiti preko kriterijuma upoređivanja, ali da bismo mogli da primenimo kriterijum upoređivanja, prethodno je potrebno pokazati da je to red s pozitivnim članovima.
Posmatramo argument sinusa, [inlmath]\frac{n}{n^3+n^2+2}[/inlmath]:
[dispmath]\frac{n}{n^3+n^2+2}<\frac{n}{n^3+n^2}=\frac{1}{n^2+n}\le\frac{1}{2}[/dispmath]
Nejednakost [inlmath]\frac{1}{n^2+n}\le\frac{1}{2}[/inlmath] sledi iz činjenice da je [inlmath]\frac{1}{n^2+n}[/inlmath] za pozitivne vrednosti [inlmath]n[/inlmath] opadajuća funkcija, a da ona, za najmanju vrednost [inlmath]n[/inlmath], koja iznosi [inlmath]n=1[/inlmath], ima vrednost [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath].
Prema tome, za [inlmath]n\ge 1[/inlmath], argument sinusa je manji od [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], tj. nalazi se u intervalu [inlmath]\left(0,\frac{1}{2}\right)[/inlmath]. Pošto je sinus pozitivan u intervalu [inlmath]\left(0,\pi\right)[/inlmath], a [inlmath]\left(0,\frac{1}{2}\right)[/inlmath] je podinterval intervala [inlmath]\left(0,\pi\right)[/inlmath], zaključujemo da je sinus pozitivan u intervalu [inlmath]\left(0,\frac{1}{2}\right)[/inlmath], tj. da je ovo red s pozitivnim članovima.

Sada možemo primeniti kriterijum upoređivanja. Pošto za [inlmath]x>0[/inlmath] važi da je [inlmath]\sin x<x[/inlmath] (o tome sam pisao u ovom postu), kao referentni red ćemo uzeti [inlmath]\sum\frac{n}{n^3+n^2+2}[/inlmath] (očigledno je da je i to red s pozitivnim članovima):
[dispmath]\sin\frac{n}{n^3+n^2+2}<\frac{n}{n^3+n^2+2}<\frac{n}{n^3+n^2}=\frac{1}{n^2+n}<\frac{1}{n^2}[/dispmath]
Pošto za red [inlmath]\sum\frac{1}{n^2}[/inlmath] znamo da konvergira, iz ovoga zaključujemo da konvergira i red [inlmath]\sum\sin\frac{n}{n^3+n^2+2}[/inlmath].

Hahahah, okej. Pisem u svesci tako, nego sam sad hteo samo da skratim posto nisam pisao u Latexu jos otkad sam poslednji put pisao ovde na forumu, pa mi treba malo vise vremena dok iskucam.


E hvala, jasno je sad. Nego, ovakvi zadaci se mogu raditi i Dalamberom i Kosijem ili samo ovako? Ne moras sad da radis, cisto da pitam.

Za [inlmath]1.[/inlmath] zadatak ne vidim način preko Košija. S druge strane, on je kô stvoren za Dalambera, zbog skraćivanja faktorijela.

Za [inlmath]3.[/inlmath] zadatak ne vidim način ni preko Dalambera, ni preko Košija, tj. ni [inlmath]\frac{a_{n+1}}{a_n}[/inlmath] ni [inlmath]\sqrt[n]{a_n}[/inlmath] ne bi mogli da se srede. Zato jedino preostaje taj kriterijum upoređivanja.