MATEMANIJA

Evo i mene tu, počeli smo učit nizove i paf, zapelo

1)
Zbroj triju uzastopnih članova aritmetičkog niza iznosi [inlmath]33[/inlmath]. Njihov umnožak je [inlmath]1287[/inlmath]. Odredi te brojeve.
[dispmath]a_{n-1}+a_n+a_{n+1}=33[/dispmath]
[dispmath]a_{n-1}\cdot a_n \cdot a_{n+1}=1287[/dispmath]
zamjenom [inlmath]a_n=x[/inlmath] dobijem
[dispmath]x-d+x+x+d=33\quad\Rightarrow\quad x=\frac{33}{2}[/dispmath]
[dispmath](x-d)x(x+d)=1287[/dispmath]
Pa uvrstim [inlmath]x[/inlmath] u drugu jednadžbu u kojoj imamo razliku kvadrata
[dispmath]\frac{33}{22}\left(\frac{1089}{4}-d^2\right)=1287[/dispmath]
[dispmath]\frac{35937}{8}-\frac{33}{2}d^2=1287[/dispmath]
[dispmath]d^2=\frac{777}{4}[/dispmath]
A dalje ni ne idem jer rješenje treba ispast [inlmath]9,\;11,\;13[/inlmath] i [inlmath]13,\;11,\;9[/inlmath]
Šta i di sam falija?

2)
Četiri broja čine aritmetički niz, a njihov je zbroj [inlmath]20[/inlmath]. Zbroj njihovih recipročnih vrijednosti iznosi [inlmath]\frac{25}{4}[/inlmath]. Koji su to brojevi?
Piše da zadatak ima četiri rješenja

Evo di ti je greška u prvom:

blake je napisao:[inlmath]x-d+x+x+d=33\quad\Rightarrow\quad x=\frac{33}{2}[/inlmath]

Obrati pažnju na to da se [inlmath]x[/inlmath] sabira tri puta.

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

Drugi do petka plizeko

[dispmath]\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}=\frac{25}{4}[/dispmath][dispmath]a_1+a_2+a_3+a_4=20[/dispmath]
Pri tom:
[dispmath]a_2=a_1+d\\
a_3=a_1+2d\\
a_4=a_1+3d[/dispmath]
Suma
[dispmath]a_1+a_2+a_3+a_4=4a_1+6d[/dispmath][dispmath]20=4a_1+6d[/dispmath][dispmath]10=2a_1+3d[/dispmath][dispmath]a_1=\frac{10-3d}{2}[/dispmath]
Dakle:
[dispmath]a_1=\frac{10-3d}{2}[/dispmath][dispmath]a_2=\frac{10-3d}{2}+d=5-\frac{d}{2}=\frac{10-d}{2}[/dispmath][dispmath]a_3=\frac{10-3d}{2}+2d=5+\frac{d}{2}=\frac{10+d}{2}[/dispmath][dispmath]a_4=\frac{10-3d}{2}+3d=5+\frac{3d}{2}=\frac{10+3d}{2}[/dispmath]
Pošto je
[dispmath]\frac{2}{10-3d}+\frac{2}{10-d}+\frac{2}{10+d}+\frac{2}{10+3d}=\frac{25}{4}[/dispmath][dispmath]\frac{1}{10-3d}+\frac{1}{10-d}+\frac{1}{10+d}+\frac{1}{10+3d}=\frac{25}{8}[/dispmath]
Onda se to malo sredi, i dobije se:
[dispmath]d^4-104d^2=\frac{-8720}{9}[/dispmath]
I onda smena [inlmath]d^2 = t[/inlmath], pa dobiješ kvadratnu rešiš je, vratiš smenu, i dobiješ četiri moguće vrednosti [inlmath]d[/inlmath] (doduše, prilično glomazne).

Zatim, ostaje ti da vratiš to u:
[dispmath]a_1=\frac{10-3d}{2}[/dispmath][dispmath]a_2=\frac{10-d}{2}[/dispmath][dispmath]a_3=\frac{10+d}{2}[/dispmath][dispmath]a_4=\frac{10+3d}{2}[/dispmath]
I tako dobiješ te članove.

Ako četiri broja čine aritmetički niz, šta to znaći da jedan od njih mora bit prvi član tog niza? Ili su oni jednostavno samo uzastopni?
Jer u knjizi je započet zadatak na drugačijem principu, pa kaže; niz od četiri članova možemo zapisati kao [inlmath]x-3d,\;x-d,\;x+d,\;x+3d[/inlmath] (razlika niza označena je s [inlmath]2d[/inlmath])...
Rješenje bi trebalo ispast [inlmath]2,4,6,8[/inlmath] ili obratno. Te [inlmath]5-\sqrt{145},\;5-\frac{\sqrt{145}}{3},\;5+\frac{\sqrt{145}}{3},\;5+\sqrt{145}[/inlmath] ili obratno.

Milovan je napisao:[dispmath]d^4−104d^2=\frac{-8720}{9}[/dispmath]
I onda smena [inlmath]d^2=t[/inlmath], pa dobiješ kvadratnu rešiš je, vratiš smenu, i dobiješ četiri moguće vrednosti [inlmath]d[/inlmath] (doduše, prilično glomazne).

Kad idem rješit ovo ispadne mi minus pod korjenom

A ja, vidiš, dobijem plus pod korenom.
Napiši nam kako si radio, pa ćemo ti kas'ti di si zabrljô...

Ups again
[dispmath]9t^2-936t+8720=0[/dispmath]
[dispmath]t_{1,2}=\frac{936\pm\sqrt{562176}}{18}[/dispmath]
Ne mogu dalje

Rastavljanjem broja [inlmath]562176[/inlmath] na činioce (znaš li kako se to radi?) dobijemo da je
[dispmath]562176=2^{10}\cdot 3^2\cdot 61[/dispmath]
pa će [inlmath]\sqrt{562176}[/inlmath] biti
[dispmath]\sqrt{562176}=\sqrt{2^{10}\cdot 3^2\cdot 61}=2^5\cdot 3\sqrt{61}[/dispmath]
i to je to, [inlmath]61[/inlmath] ne možeš dalje raščlanjivati jer je to prost broj, tako da moraš ostaviti [inlmath]\sqrt{61}[/inlmath].

znam male brojeve tipa [inlmath]\sqrt 8=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt 2[/inlmath]
Za tako velike brojeve i ne baš

Napraviš jednu tabelu s dve kolone.
U levu kolonu upišeš broj koji želiš da rastaviš na činioce. U ovom slučaju, [inlmath]562176[/inlmath].
Sada posmatraš s kojim je brojevima ovaj broj deljiv.
Krećeš od najmanjeg prostog broja, tj. od broja [inlmath]2[/inlmath]. Ako je deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], kao što jeste, u desnu kolonu upisuješ [inlmath]2[/inlmath]. Broj u levoj koloni sada deliš sa [inlmath]2[/inlmath] i rezultat upisuješ u sledeći red, takođe u levoj koloni.
Zatim ponavljaš postupak za taj novi broj. Posmatraš prvo da li je deljiv sa [inlmath]2[/inlmath] Jeste i on. U desnu kolonu, u istom redu kao i taj broj, opet upisuješ [inlmath]2[/inlmath].
Itd...
Kad stignemo do broja [inlmath]549[/inlmath] (11. red), vidimo da on sada nije deljiv sa [inlmath]2[/inlmath]. Ispitujemo deljivost s prvim narednim prostim brojem, a to je [inlmath]3[/inlmath]. Jeste, deljiv je sa [inlmath]3[/inlmath]. Desno upisujemo [inlmath]3[/inlmath], a broj s leve strane delimo sa [inlmath]3[/inlmath] i rezultat upisujemo ispod. To je [inlmath]183[/inlmath]. On je isto deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. Znači, opet isti postupak...
E sad, naredni broj koji dobijemo kad [inlmath]183[/inlmath] podelimo sa [inlmath]3[/inlmath] je [inlmath]61[/inlmath]. Pošto je [inlmath]61[/inlmath] prost broj, završili smo postupak, budući da nema svrhe tražiti činioce prostog broja (znamo da ih nema).
[dispmath]\begin{array}{r|l}
562176 & 2\\
281088 & 2\\
140544 & 2\\
70272 & 2\\
35136 & 2\\
17568 & 2\\
8784 & 2\\
4392 & 2\\
2196 & 2\\
1098 & 2\\
549 & 3\\
183 & 3\\
61 & 61\\
1 &
\end{array}[/dispmath] Prema tome, prosti činioci broja [inlmath]562176[/inlmath] su: deset dvojaka, dve trojke i jedan broj [inlmath]61[/inlmath]. Drugim rečima, kad se ovi brojevi izmnože, treba da se dobije polazni broj:
[dispmath]2^{10}\cdot 3^2\cdot 61=562176[/dispmath]