MATEMANIJA

Evo i mene tu, počeli smo učit nizove i paf, zapelo

1)
Zbroj triju uzastopnih članova aritmetičkog niza iznosi [inlmath]33[/inlmath]. Njihov umnožak je [inlmath]1287[/inlmath]. Odredi te brojeve.
[dispmath]a_{n-1}+a_n+a_{n+1}=33[/dispmath]
[dispmath]a_{n-1}\cdot a_n \cdot a_{n+1}=1287[/dispmath]
zamjenom [inlmath]a_n=x[/inlmath] dobijem
[dispmath]x-d+x+x+d=33\quad\Rightarrow\quad x=\frac{33}{2}[/dispmath]
[dispmath](x-d)x(x+d)=1287[/dispmath]
Pa uvrstim [inlmath]x[/inlmath] u drugu jednadžbu u kojoj imamo razliku kvadrata
[dispmath]\frac{33}{22}\left(\frac{1089}{4}-d^2\right)=1287[/dispmath]
[dispmath]\frac{35937}{8}-\frac{33}{2}d^2=1287[/dispmath]
[dispmath]d^2=\frac{777}{4}[/dispmath]
A dalje ni ne idem jer rješenje treba ispast [inlmath]9,\;11,\;13[/inlmath] i [inlmath]13,\;11,\;9[/inlmath]
Šta i di sam falija?

2)
Četiri broja čine aritmetički niz, a njihov je zbroj [inlmath]20[/inlmath]. Zbroj njihovih recipročnih vrijednosti iznosi [inlmath]\frac{25}{4}[/inlmath]. Koji su to brojevi?
Piše da zadatak ima četiri rješenja

Evo di ti je greška u prvom:

blake je napisao:[inlmath]x-d+x+x+d=33\quad\Rightarrow\quad x=\frac{33}{2}[/inlmath]

Obrati pažnju na to da se [inlmath]x[/inlmath] sabira tri puta.

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

Drugi do petka plizeko

[dispmath]\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}=\frac{25}{4}[/dispmath][dispmath]a_1+a_2+a_3+a_4=20[/dispmath]
Pri tom:
[dispmath]a_2=a_1+d\\
a_3=a_1+2d\\
a_4=a_1+3d[/dispmath]
Suma
[dispmath]a_1+a_2+a_3+a_4=4a_1+6d[/dispmath][dispmath]20=4a_1+6d[/dispmath][dispmath]10=2a_1+3d[/dispmath][dispmath]a_1=\frac{10-3d}{2}[/dispmath]
Dakle:
[dispmath]a_1=\frac{10-3d}{2}[/dispmath][dispmath]a_2=\frac{10-3d}{2}+d=5-\frac{d}{2}=\frac{10-d}{2}[/dispmath][dispmath]a_3=\frac{10-3d}{2}+2d=5+\frac{d}{2}=\frac{10+d}{2}[/dispmath][dispmath]a_4=\frac{10-3d}{2}+3d=5+\frac{3d}{2}=\frac{10+3d}{2}[/dispmath]
Pošto je
[dispmath]\frac{2}{10-3d}+\frac{2}{10-d}+\frac{2}{10+d}+\frac{2}{10+3d}=\frac{25}{4}[/dispmath][dispmath]\frac{1}{10-3d}+\frac{1}{10-d}+\frac{1}{10+d}+\frac{1}{10+3d}=\frac{25}{8}[/dispmath]
Onda se to malo sredi, i dobije se:
[dispmath]d^4-104d^2=\frac{-8720}{9}[/dispmath]
I onda smena [inlmath]d^2 = t[/inlmath], pa dobiješ kvadratnu rešiš je, vratiš smenu, i dobiješ četiri moguće vrednosti [inlmath]d[/inlmath] (doduše, prilično glomazne).

Zatim, ostaje ti da vratiš to u:
[dispmath]a_1=\frac{10-3d}{2}[/dispmath][dispmath]a_2=\frac{10-d}{2}[/dispmath][dispmath]a_3=\frac{10+d}{2}[/dispmath][dispmath]a_4=\frac{10+3d}{2}[/dispmath]
I tako dobiješ te članove.

Ako četiri broja čine aritmetički niz, šta to znaći da jedan od njih mora bit prvi član tog niza? Ili su oni jednostavno samo uzastopni?
Jer u knjizi je započet zadatak na drugačijem principu, pa kaže; niz od četiri članova možemo zapisati kao [inlmath]x-3d,\;x-d,\;x+d,\;x+3d[/inlmath] (razlika niza označena je s [inlmath]2d[/inlmath])...
Rješenje bi trebalo ispast [inlmath]2,4,6,8[/inlmath] ili obratno. Te [inlmath]5-\sqrt{145},\;5-\frac{\sqrt{145}}{3},\;5+\frac{\sqrt{145}}{3},\;5+\sqrt{145}[/inlmath] ili obratno.

Milovan je napisao:[dispmath]d^4−104d^2=\frac{-8720}{9}[/dispmath]
I onda smena [inlmath]d^2=t[/inlmath], pa dobiješ kvadratnu rešiš je, vratiš smenu, i dobiješ četiri moguće vrednosti [inlmath]d[/inlmath] (doduše, prilično glomazne).

Kad idem rješit ovo ispadne mi minus pod korjenom

A ja, vidiš, dobijem plus pod korenom.
Napiši nam kako si radio, pa ćemo ti kas'ti di si zabrljô...

Ups again
[dispmath]9t^2-936t+8720=0[/dispmath]
[dispmath]t_{1,2}=\frac{936\pm\sqrt{562176}}{18}[/dispmath]
Ne mogu dalje

Rastavljanjem broja [inlmath]562176[/inlmath] na činioce (znaš li kako se to radi?) dobijemo da je
[dispmath]562176=2^{10}\cdot 3^2\cdot 61[/dispmath]
pa će [inlmath]\sqrt{562176}[/inlmath] biti
[dispmath]\sqrt{562176}=\sqrt{2^{10}\cdot 3^2\cdot 61}=2^5\cdot 3\sqrt{61}[/dispmath]
i to je to, [inlmath]61[/inlmath] ne možeš dalje raščlanjivati jer je to prost broj, tako da moraš ostaviti [inlmath]\sqrt{61}[/inlmath].

znam male brojeve tipa [inlmath]\sqrt 8=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt 2[/inlmath]
Za tako velike brojeve i ne baš

Napraviš jednu tabelu s dve kolone.
U levu kolonu upišeš broj koji želiš da rastaviš na činioce. U ovom slučaju, [inlmath]562176[/inlmath].
Sada posmatraš s kojim je brojevima ovaj broj deljiv.
Krećeš od najmanjeg prostog broja, tj. od broja [inlmath]2[/inlmath]. Ako je deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], kao što jeste, u desnu kolonu upisuješ [inlmath]2[/inlmath]. Broj u levoj koloni sada deliš sa [inlmath]2[/inlmath] i rezultat upisuješ u sledeći red, takođe u levoj koloni.
Zatim ponavljaš postupak za taj novi broj. Posmatraš prvo da li je deljiv sa [inlmath]2[/inlmath] Jeste i on. U desnu kolonu, u istom redu kao i taj broj, opet upisuješ [inlmath]2[/inlmath].
Itd...
Kad stignemo do broja [inlmath]549[/inlmath] (11. red), vidimo da on sada nije deljiv sa [inlmath]2[/inlmath]. Ispitujemo deljivost s prvim narednim prostim brojem, a to je [inlmath]3[/inlmath]. Jeste, deljiv je sa [inlmath]3[/inlmath]. Desno upisujemo [inlmath]3[/inlmath], a broj s leve strane delimo sa [inlmath]3[/inlmath] i rezultat upisujemo ispod. To je [inlmath]183[/inlmath]. On je isto deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. Znači, opet isti postupak...
E sad, naredni broj koji dobijemo kad [inlmath]183[/inlmath] podelimo sa [inlmath]3[/inlmath] je [inlmath]61[/inlmath]. Pošto je [inlmath]61[/inlmath] prost broj, završili smo postupak, budući da nema svrhe tražiti činioce prostog broja (znamo da ih nema).
[dispmath]\begin{array}{r|l}
562176 & 2\\
281088 & 2\\
140544 & 2\\
70272 & 2\\
35136 & 2\\
17568 & 2\\
8784 & 2\\
4392 & 2\\
2196 & 2\\
1098 & 2\\
549 & 3\\
183 & 3\\
61 & 61\\
1 &
\end{array}[/dispmath] Prema tome, prosti činioci broja [inlmath]562176[/inlmath] su: deset dvojaka, dve trojke i jedan broj [inlmath]61[/inlmath]. Drugim rečima, kad se ovi brojevi izmnože, treba da se dobije polazni broj:
[dispmath]2^{10}\cdot 3^2\cdot 61=562176[/dispmath]

Nota bene,
Ka šta sam već reka;

blake je napisao:Rješenje bi trebalo ispast [inlmath]2,4,6,8[/inlmath] ili obratno. Te [inlmath]5-\sqrt{145},\;5-\frac{\sqrt{145}}{3},\;5+\frac{\sqrt{145}}{3},\;5+\sqrt{145}[/inlmath] ili obratno.

Šta je nemoguće dobit s uvjetima koje sam ja napisa u startu zadatka, odnosno zbroj recipročnih vrijednosti četiri uzastopna člana aritmetičkog niza je [inlmath]\frac{25}{24}[/inlmath], a ne [inlmath]\frac{25}{4}[/inlmath] ka šta piše. Upravo radi te pogreške u prepisivanju (hey, thatz me ) zadatak se zakomplicira. Sada sam napokon i dobia očekivani rezultat!

Ako ništa drugo, radi ove greške i komplikacije naučia sam rastavljat velike brojeve na tzv. činioce i još neke cake koje su napisane evo tu

POZZ

Eto... i posle nek neko kaže da se greške ne isplate.

Mama mia, here I am again

1. Zbroj prvih triju članova aritmetičkog niza jednak je [inlmath]15[/inlmath], zbroj posljednjih triju jednak je [inlmath]78[/inlmath], a zbroj svih članova niza iznosi [inlmath]155[/inlmath]. Odredi taj niz.
[dispmath]a_1+a_2+a_3=S_3=15[/dispmath][dispmath]S_n=155[/dispmath][dispmath]S_{n-3}=155-78=77[/dispmath]
[dispmath]S_3=15\Rightarrow 15=\frac{3}{2}(a_1+a_1+2d)\Rightarrow a_1=5-d[/dispmath]
[dispmath]155=\frac{n}{2}(a_1+a_1+(n-1)d)\Rightarrow 155=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}[/dispmath][dispmath]S_{n-3}=\frac{n-3}{2}(a_1+a_1+(n-4)d)\Rightarrow 77=(n-3)a_1+\frac{(n-3)(n-4)d}{2}[/dispmath]
Kako dalje? Rj: [inlmath]2,5,8,11,14,17,20,23,26,29[/inlmath].

---

2. Zbroj prvih četriju članova aritmetičkog niza jednak je [inlmath]68[/inlmath], zbroj posljednjih četiriju [inlmath]-36[/inlmath]. Ako je zbroj svih članova niza [inlmath]68[/inlmath], odredi taj niz.
Ako može detaljno.
Rj: [inlmath]n=17,\;a_1=20,\;d=-2[/inlmath]

blake je napisao:[dispmath]S_3=15\Rightarrow 15=\frac{3}{2}(a_1+a_1+2d)\Rightarrow a_1=5-d[/dispmath]
[dispmath]155=\frac{n}{2}(a_1+a_1+(n-1)d)\Rightarrow 155=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}[/dispmath][dispmath]S_{n-3}=\frac{n-3}{2}(a_1+a_1+(n-4)d)\Rightarrow 77=(n-3)a_1+\frac{(n-3)(n-4)d}{2}[/dispmath]
Kako dalje? Rj: [inlmath]2,5,8,11,14,17,20,23,26,29[/inlmath].

Sve si dobro uradio, sad u poslednja dva izraza umesto [inlmath]d[/inlmath] uvrstiš [inlmath]\left(5-a_1\right)[/inlmath] i imaš sistem od dve jendačine s dve nepoznate. Prilično glomazan, doduše. Pokušaj rešiti, pa ako ne ide, pokušaćemo pomoći...

blake je napisao:2. Zbroj prvih četriju članova aritmetičkog niza jednak je [inlmath]68[/inlmath], zbroj posljednjih četiriju [inlmath]-36[/inlmath]. Ako je zbroj svih članova niza [inlmath]68[/inlmath], odredi taj niz.
Ako može detaljno.
Rj: [inlmath]n=17,\;a_1=20,\;d=-2[/inlmath]

Hm, ima li potrebe? Koliko vidim, identičan je prethodnom zadatku (s kojim se dobro snalaziš), samo su drugačije brojne vrednosti...

Inače, drugi član niza iz prvog zadatka možeš odmah da izvučeš.
[dispmath]a_1+a_2+a_3=15\\
a_2-d+a_2+a_2+d=15\\
3a_2=15\\
a_2=5[/dispmath]

Ne razumin šta ću radit dalje
Iz
[dispmath]77=(n-3)a_1+\frac{(n-3)(n-4)d}{2}[/dispmath]
Dobijem [inlmath]a_1=\frac{-5n^2+35n+94}{-n^2+9n-18}[/inlmath]
Ali ne virujem da je ovako komplicirano. Mora postojat neki jednostavniji način

Imam još dva zadatka. Ovdi uopće ne znam kako da na početku postavim zadatak.

3. Koliko pozitivnih članova ima niz [inlmath]105,98,91,84,[/inlmath]...? ([inlmath]d=7[/inlmath])
Koliko članova ovog niza valja zbrojiti kako bi zbroj bio jednak nuli?

4. Koliko brojeva treba umetnuti između [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]16[/inlmath] da bi se dobio aritmetički niz čiji je zbroj [inlmath]180[/inlmath]?

blake je napisao:Ne razumin šta ću radit dalje
Iz
[dispmath]77=(n-3)a_1+\frac{(n-3)(n-4)d}{2}[/dispmath]
Dobijem [inlmath]a_1=\frac{-5n^2+35n+94}{-n^2+9n-18}[/inlmath]
Ali ne virujem da je ovako komplicirano. Mora postojat neki jednostavniji način

Da li ću te utešiti ako ti kažem da i ja dobijem istu tu nebulozu koju si napisao i još jednu sličnu, pa onda oduzimanjem jedne od druge dobijem [inlmath]6na_1-18a_1-30n=-216[/inlmath]...
Pa bi odatle valjda trebalo izraziti [inlmath]a_1[/inlmath] preko [inlmath]n[/inlmath], ili [inlmath]n[/inlmath] preko [inlmath]a_1[/inlmath] i zameniti u neku od te dve jednačine i...

blake je napisao:3. Koliko pozitivnih članova ima niz [inlmath]105,98,91,84,[/inlmath]...? ([inlmath]d=7[/inlmath])

Valjda [inlmath]d=-7[/inlmath]? (Niz je opadajući.)
[dispmath]a_n=a_1+\left(n-1\right)d>0\\
\cdots\\
n<16\\
n\le 15[/dispmath]
tj. ima [inlmath]15[/inlmath] pozitivnih članova.

blake je napisao:Koliko članova ovog niza valja zbrojiti kako bi zbroj bio jednak nuli?

[dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left[a_1+a_1+\left(n-1\right)d\right]=0[/dispmath]
Mislim, stvarno...

blake je napisao:4. Koliko brojeva treba umetnuti između [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]16[/inlmath] da bi se dobio aritmetički niz čiji je zbroj [inlmath]180[/inlmath]?

[dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left(2+16\right)=180[/dispmath]
[dispmath]n=\dots[/dispmath]

Blake, aman...

hahahahahahahahah

Ajd da još naglasim, za svaki slučaj, da u ovom 4. zadatku od dobijenog broja [inlmath]n[/inlmath] još posle treba da oduzmeš [inlmath]2[/inlmath], pošto brojeve [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]16[/inlmath] ne računamo, budući da pitanje glasi koliko brojeva treba umetnuti između njih...

Taman sam to tia napisat !!!

Što se tiče zadatka

blake je napisao:1. Zbroj prvih triju članova aritmetičkog niza jednak je [inlmath]15[/inlmath], zbroj posljednjih triju jednak je [inlmath]78[/inlmath], a zbroj svih članova niza iznosi [inlmath]155[/inlmath]. Odredi taj niz.
[dispmath]a_1+a_2+a_3=S_3=15[/dispmath][dispmath]S_n=155[/dispmath][dispmath]S_{n-3}=155-78=77[/dispmath]

sad vidim (ne kažu džabe da je dan pametniji od noći), lepo Milovan napisa da možemo odmah naći [inlmath]a_2[/inlmath]. Na isti način možemo odmah naći i [inlmath]a_{n-1}[/inlmath], pa možemo znatno pojednostaviti postupak.
[dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)[/dispmath][dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left(a_2-d+a_{n-1}+d\right)[/dispmath][dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left(a_2+a_{n-1}\right)[/dispmath]
Tu nam je sve poznato osim [inlmath]n[/inlmath], tako da iz te formule izračunamo koliko je [inlmath]n[/inlmath].

Kada smo našli [inlmath]n[/inlmath], možemo lako naći i [inlmath]d[/inlmath]:
[dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)[/dispmath][dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left[a_2-d+a_2+\left(n-2\right)d\right][/dispmath]
Tu nam je sada sve poznato osim [inlmath]d[/inlmath], pa nađemo [inlmath]d[/inlmath]...

Međutim, ovaj princip će se malo teže primeniti na 2. zadatak,

blake je napisao:2. Zbroj prvih četriju članova aritmetičkog niza jednak je [inlmath]68[/inlmath], zbroj posljednjih četiriju [inlmath]-36[/inlmath]. Ako je zbroj svih članova niza [inlmath]68[/inlmath], odredi taj niz.
Ako može detaljno.
Rj: [inlmath]n=17,\;a_1=20,\;d=-2[/inlmath]

budući da je u njemu zadata suma parnog broja prvih članova i parnog broja poslednjih. Tu već ne možemo na ovaj način izračunati vrednosti nekih od članova niza.

Evo, zato, još jednog postupka za prvi zadatak,

blake je napisao:1. Zbroj prvih triju članova aritmetičkog niza jednak je [inlmath]15[/inlmath], zbroj posljednjih triju jednak je [inlmath]78[/inlmath], a zbroj svih članova niza iznosi [inlmath]155[/inlmath]. Odredi taj niz.
[dispmath]a_1+a_2+a_3=S_3=15[/dispmath][dispmath]S_n=155[/dispmath][dispmath]S_{n-3}=155-78=77[/dispmath]

koji se lako može primeniti i na ovaj drugi.

Poznata je suma prva tri člana niza:
[dispmath]S_3=\frac{3}{2}\left(a_1+a_3\right)=\frac{3}{2}\left(a_1+a_1+2d\right)=3\left(a_1+d\right)=15[/dispmath]
[dispmath]a_1+d=5\qquad\left(1\right)[/dispmath]
Poznata je suma i poslednja tri člana:
[dispmath]S_n-S_{n-3}=\frac{3}{2}\left(a_{n-2}+a_n\right)=\frac{3}{2}\left[a_1+\left(n-3\right)d+a_1+\left(n-1\right)d\right]=[/dispmath][dispmath]=\frac{3}{2}\left(2a_1+2nd-4d\right)=3\left(a_1+nd-2d\right)=78[/dispmath]
[dispmath]a_1+nd-2d=26\qquad\left(2\right)[/dispmath]
[dispmath]\left(1\right),\left(2\right)\quad\Rightarrow\quad nd-3d=21\qquad\left(3\right)[/dispmath]
Poznata je i suma svih članova niza:
[dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)=\frac{n}{2}\left[a_1+a_1+\left(n-1\right)d\right]=\frac{n}{2}\left(2a_1+nd-d\right)=155[/dispmath]
[dispmath]n\left(2a_1+nd-d\right)=310\qquad\left(4\right)[/dispmath]
[dispmath]\left(1\right),\left(4\right)\quad\Rightarrow\quad n\left[2\left(5-d\right)+nd-d\right]=310\quad\Rightarrow\quad n\left(10+nd-3d\right)=310\qquad\left(5\right)[/dispmath]
[dispmath]\left(3\right),\left(5\right)\quad\Rightarrow\quad n\left(10+21\right)=310\quad\Rightarrow\quad n=10[/dispmath]
Sad kad je [inlmath]n[/inlmath] poznato, iz formule [inlmath]\left(3\right)[/inlmath] nađemo i da je [inlmath]d=3[/inlmath], a zatim iz formule [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] da je [inlmath]a_1=2[/inlmath]...

Hajde sad ti to sve isto, al' za onaj 2. zadatak. Proverio sam, isto ovako lako se dobija rešenje.

OVAKO LAKO !?
Jurim sad u šk, navečer ću još ovo pogledat

Mislim, „lako“... Lakše je sigurno od onog načina koji smo sinoć isprobavali...

Ovako, u vezi prvog zadatka... za zbroj članova aritmetičkog niza stavia si [inlmath]S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)[/inlmath], ali u ovoj formuli [inlmath]a_n[/inlmath] označava zadnji član s kojim zbrajamo a to je treći, a ne drugi ka šta si ti napisa? Šta ne?
Šta se tiće drugog, pokuša sam na ovaj tvoj način, ali se zakompliciralo i molimtemolimtemolimte ako možeš uvrstit brojeve i pokazat mi kako doć do rješenja. Svjestan sam da želiš da i ja nešto solo napravim, ali neće ići čini mi se

blake je napisao:Ovako, u vezi prvog zadatka... za zbroj članova aritmetičkog niza stavia si [inlmath]S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)[/inlmath], ali u ovoj formuli [inlmath]a_n[/inlmath] označava zadnji član s kojim zbrajamo a to je treći, a ne drugi ka šta si ti napisa? Šta ne?

Ne znam na koji deo postupka tačno misliš, formulu za sumu niza koristio sam na više mesta, možeš li mi tačno citirati taj deo postupka koji ti je sporan?
Krećem sad da ti radim taj 2. zadatak.

blake je napisao:2. Zbroj prvih četriju članova aritmetičkog niza jednak je [inlmath]68[/inlmath], zbroj posljednjih četiriju [inlmath]-36[/inlmath]. Ako je zbroj svih članova niza [inlmath]68[/inlmath], odredi taj niz.
Ako može detaljno.
Rj: [inlmath]n=17,\;a_1=20,\;d=-2[/inlmath]

Poznata je suma prva četiri člana niza:
[dispmath]S_4=\frac{4}{2}\left(a_1+a_4\right)=2\left(a_1+a_1+3d\right)=2\left(2a_1+3d\right)=68[/dispmath]
[dispmath]2a_1+3d=34\qquad\left(1\right)[/dispmath]
Poznata je suma i poslednja četiri člana:
[dispmath]S_n-S_{n-4}=\frac{4}{2}\left(a_{n-3}+a_n\right)=2\left[a_1+\left(n-4\right)d+a_1+\left(n-1\right)d\right]=2\left(2a_1+2nd-5d\right)=-36[/dispmath]
[dispmath]2a_1+2nd-5d=-18\qquad\left(2\right)[/dispmath]
[dispmath]\left(1\right),\left(2\right)\quad\Rightarrow\quad nd-4d=-26\qquad\left(3\right)[/dispmath]
Poznata je i suma svih članova niza:
[dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)=\frac{n}{2}\left[a_1+a_1+\left(n-1\right)d\right]=\frac{n}{2}\left(2a_1+nd-d\right)=68[/dispmath]
[dispmath]n\left(2a_1+nd-d\right)=136\qquad\left(4\right)[/dispmath]
[dispmath]\left(1\right),\left(4\right)\quad\Rightarrow\quad n\left(34-3d+nd-d\right)=136\quad\Rightarrow\quad n\left(34+nd-4d\right)=136\qquad\left(5\right)[/dispmath]
[dispmath]\left(3\right),\left(5\right)\quad\Rightarrow\quad n\left(34-26\right)=136\quad\Rightarrow\quad n=17[/dispmath]
Sad kad je [inlmath]n[/inlmath] poznato, iz formule [inlmath]\left(3\right)[/inlmath] nađemo i da je [inlmath]d=-2[/inlmath], a zatim iz formule [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] da je [inlmath]a_1=20[/inlmath]...

P.S. Ovo sam napisao tako što sam bukvalno uradio copy/paste 1. zadatka i samo izmenio brojne vrednosti. Znači, apsolutno ništa novo.

Puno ti hvala. I dalje je ovo teško. Kombinirat ovoliko jednadžbi je
Ali nisam dobro prepisa i neću ni pričat više o svojoj koncentraciji

Šta se tiče prvog zadatka;

Daniel je napisao:Na isti način možemo odmah naći i [inlmath]a_{n-1}[/inlmath], pa možemo znatno pojednostaviti postupak.
[dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)[/dispmath][dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left(a_2-d+a_{n-1}+d\right)[/dispmath]

Na koji to način? Ne razumin.
Ne mogu nikako skužit zašto si uvrstia da se zbraja; [inlmath]a_2-d+a_{n-1}+d[/inlmath].

Susedni članovi aritmetičkog niza se razlikuju za istu vrednost.
[dispmath]a_n=a_{n-1}+d[/dispmath]
[inlmath]a_2=a_1+d[/inlmath], tj. [inlmath]a_1=a_2-d[/inlmath]

Zato je [inlmath]a_1+a_n=a_2+a_{n-1}[/inlmath]

Tako recimo ako imaš niz od prvih hiljadu prirodnih brojeva važi:
[inlmath]1+1000[/inlmath]
[inlmath]2+999[/inlmath]
[inlmath]3+998[/inlmath]

Zbir je stalno isti.
To je specifično svojstvo aritmetičkih nizova.

Ovde smo iskoristili to što znamo drugi i pretposlednji član i tako znatno skratili rešenje.

Sad si me, Milovane, podsetio na onu anegdotu o jednom čuvenom matematičaru (mislim da je bio Gauss, nisam siguran, ispravi me ako je neko drugi), koji je, još kao školarac, pokazao svoj talenat za matematiku. Učitelj im na početku časa zadao da izračunaju zbir svih brojeva od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]100[/inlmath] i dao im na raspolaganje ceo školski čas. I on sad mislio, dok ovi računaju, on će lepo da odmara, rešavaće ukrštene reči i štatijaznam... Kad, posle pet minuta, diže ručicu taj đak i kaže, ja izračunao... Učitelj, u neverici, uzeo da to pogleda, kad ono, učenik lepo grupisao brojeve: [inlmath]1[/inlmath] sa [inlmath]100[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] sa [inlmath]99[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] sa [inlmath]98[/inlmath]... i tako sve do [inlmath]50[/inlmath] sa [inlmath]51[/inlmath]. I kaže, zbir svaka ta dva broja je [inlmath]101[/inlmath], a tih parova ukupno ima [inlmath]50[/inlmath]. Znači, cela suma iznosi [inlmath]50\cdot 101[/inlmath], tj. [inlmath]5050[/inlmath]. Učitelj, sav oduševljen, rekao mu, ti ćeš, kad odrasteš, biti poznati matematičar. I bio je u pravu.

Da, to se pripisuje Gausu.

Mada mene ovo više asocira na jedan od dokaza formule za zbir aritmetičkog niza [inlmath]S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)[/inlmath].
Taj dokaz se upravo zasniva na grupisanju početnih i krajnjih članova, kojim je zbir stalno isti, pa odatle dobijemo formulu.

Napokon sam skužia !!! (aleluja)
Zujim i zujim
I zujim i
Heureka !

Opći član niza je [inlmath]a_n=24.2−0.6n[/inlmath]
Koliki je zbroj svih pozitivnih članova tog niza?
Meni nije jasno kako je moguće tu oduzimat [inlmath]0.6[/inlmath] od [inlmath]24.2[/inlmath] kad se [inlmath]0.6[/inlmath] množi s [inlmath]n[/inlmath]?
[dispmath]a_n=24.2-0.6\cdot n=23.6+\left(n-1\right)\cdot\left(-0.6\right)[/dispmath]

Prvi član niza ti je [inlmath]a_1=24,2-0,6\cdot 1[/inlmath], pa se kod njega [inlmath]0,6[/inlmath] oduzima od [inlmath]24,2[/inlmath].

Imaš taj zadatak već komplet urađen ovde.

Ako je [inlmath]a_5=5,\;a_6=4[/inlmath] koliki je zbroj prvih [inlmath]10[/inlmath] članova aritmetičkog niza? [inlmath]47[/inlmath]!?

Paaa... Blizu si. Omašio si za [inlmath]2[/inlmath].

Formula za zbir prvih [inlmath]n[/inlmath] članova aritmetičkog niza:
[dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)[/dispmath]
a nama se traži zbir prvih [inlmath]10[/inlmath] članova:
[dispmath]S_{10}=\frac{10}{2}\left(a_1+a_{10}\right)=5\left(a_1+a_1+9d\right)=10a_1+45d[/dispmath]
[inlmath]d[/inlmath] nađemo preko [inlmath]a_5[/inlmath] i [inlmath]a_6[/inlmath] koji su nam poznati:
[dispmath]a_6=a_5+d[/dispmath][dispmath]4=5+d[/dispmath][dispmath]d=-1[/dispmath]
Odatle nađemo i [inlmath]a_1[/inlmath]:
[dispmath]a_5=a_1+4d[/dispmath][dispmath]5=a_1-4[/dispmath][inlmath]a_1=9[/inlmath]
pa to vratimo u izraz za sumu:
[dispmath]S_{10}=10a_1+45d[/dispmath][dispmath]S_{10}=90-45[/dispmath][dispmath]\underline{S_{10}=45}[/dispmath]

Sada sam i ja dobio [inlmath]45[/inlmath], ali sam računao na neki svoj način.
[dispmath]a_1=9,\;a_2=8,\;a_3=7,\;a_4=6,\;a_5=5,\;a_6=4,\;a_7=3,\;a_8=2,\;a_9=1,\;a_{10}=0[/dispmath]