MATEMANIJA

Znam da sam dosadan al sta cu.
Imam 3 zadatka iz nizova za rijesit i to je to onda. Jesam se razbaco haha

[inlmath]1)[/inlmath] Između [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]25[/inlmath] interpoliraj [inlmath]5[/inlmath] članova tako da niz bude aritmetički. Odredi niz i sumu niza.

[inlmath]2)[/inlmath] Odredi geometrijski niz ako je: [inlmath]\begin{array}{l}a_4-a_2=18 \\a_5-a_3=36\end{array}[/inlmath]

[inlmath]3)[/inlmath] Odredi [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]a_n[/inlmath] geometrijskog niza ako je [inlmath]q=2[/inlmath], [inlmath]a_1=8[/inlmath], [inlmath]S_n=4088[/inlmath].

1) [inlmath]a_1=3[/inlmath]
[inlmath]a_7=25=a_1+6d=3+6d[/inlmath]
[inlmath]d=\frac{11}{3}[/inlmath]
[dispmath]\begin{array}{l}
a_2 = 3 +\frac{11}{3}\\
a_3 = 3 +\frac{22}{3}\\
a_4 =3 +\frac{33}{3} = 14\\
\cdots\\
a_7 = 25
\end{array}[/dispmath]
[dispmath]a_n=a_1+(n-1)d\\
a_n=3+\frac{11}{3}(n-1)[/dispmath]
[dispmath]\cdots[/dispmath]
2)
[dispmath]a_1q^3-a_1q=18\\
a_1q^4-a_1q^2=36[/dispmath]
Podeliš drugu jednačinu sa prvom:
[dispmath]\frac{q^4-q^2}{q^3-q}=2[/dispmath]
Rešiš po [inlmath]q[/inlmath], itd.

3)
[dispmath]a_1\frac{1-q^n}{1-q}=S_n[/dispmath][dispmath]\frac{2^n-1}{2-1}=\frac{4088}{8}=511[/dispmath]
[dispmath]2^n=512=2^9[/dispmath][dispmath]n=9[/dispmath]
[dispmath]\cdots[/dispmath]

1. mi je jasno sve.

2. Zasto djelit prvu jednadzbu s drugom? Nemogu povezat zasto kako..?

3. isto tako sve je jasno
jedino npr ne kuzim kako bi inace nasao koliko je [inlmath]n[/inlmath], ako bi npr imao ovako; [inlmath]2^n=6578[/inlmath]
[inlmath]2^n=512[/inlmath] znam napamet, [inlmath]2^7=128[/inlmath], [inlmath]2^8=256[/inlmath], [inlmath]2^9=512[/inlmath] itd to znam napamet al kako bi dobio [inlmath]n[/inlmath] u ovom primjeru s [inlmath]6578[/inlmath] ?

DommY je napisao:2.Zasto djelit prvu jednadzbu s drugom? Nemogu povezat zasto kako..?

To je najlakši način da se odredi koliko je [inlmath]q[/inlmath]. Skrati se [inlmath]a_1[/inlmath] i ostane jednačina u kojoj figuriše samo [inlmath]q[/inlmath] kao nepoznata.

DommY je napisao:3. isto tako sve je jasno
jedino npr ne kuzim kako bi inace nasao koliko je [inlmath]n[/inlmath], ako bi npr imao ovako; [inlmath]2^n=6578[/inlmath]
[inlmath]2^n=512[/inlmath] znam napamet, [inlmath]2^7=128[/inlmath], [inlmath]2^8=256[/inlmath], [inlmath]2^9=512[/inlmath] itd to znam napamet al kako bi dobio [inlmath]n[/inlmath] u ovom primjeru s [inlmath]6578[/inlmath] ?

1. način – digitron (ako je dozvoljen)
2. način – rastavljanje broja na činioce (baš sam pre par sati u jednom drugom postu napisao postupak).

2. Evo ide slika, jer neznam kako da to sve rjesim, imam [inlmath]q^2[/inlmath], [inlmath]q^4[/inlmath]...sta ce ovo mozda bit [inlmath]4[/inlmath] rjesenja ? pls da nebude...
[dispmath]\begin{array}{l}
a_4-a_2=18\\
\underline{a_5-a_3=36}\\
a_1q^3-a_1q=18\\
\underline{a_1q^4-a_1q^2=36}\\
a_1\left(q^3-q\right)=18\quad\Rightarrow\quad a_1=\frac{18}{q^3-q}\\
\underline{a_1\left(q^4-q^2\right)=36}\\
\frac{18}{q^3-q}\left(q^4-q^2\right)=36\\
\frac{18q^4-18q^2}{q^3-q}=36\quad /:18\\
\frac{q^4-q^2}{q^3-q}=2
\end{array}[/dispmath]
a sta se tice ovog trećega, kako cu s kalkulatorom izracunat [inlmath]2^n=23141513[/inlmath]?
Kako cu nac [inlmath]n[/inlmath]? necu valjda pokusavat pogadat koji je broj [inlmath]n[/inlmath] pomocu kalkulatora pa kad dode taj broj eto ga

DommY je napisao:2. Evo ide slika, jer neznam kako da to sve rjesim, imam [inlmath]q^2[/inlmath], [inlmath]q^4[/inlmath]...sta ce ovo mozda bit [inlmath]4[/inlmath] rjesenja ? pls da nebude...

Ne brini, neće.
Imaš, znači, jednačinu
[dispmath]\frac{q^4-q^2}{q^3-q}=2[/dispmath]
Središ je na sledeći način:
[dispmath]\frac{q^2\left(q^2-1\right)}{q\left(q^2-1\right)}=2[/dispmath]
I, posle skraćivanja [inlmath]q[/inlmath] sa [inlmath]q[/inlmath] i [inlmath]\left(q^2-1\right)[/inlmath] sa [inlmath]\left(q^2-1\right)[/inlmath], ostaje samo
[dispmath]q=2[/dispmath]

DommY je napisao:a sta se tice ovog trećega, kako cu s kalkulatorom izracunat [inlmath]2^n=23141513[/inlmath]?
Kako cu nac [inlmath]n[/inlmath]? necu valjda pokusavat pogadat koji je broj [inlmath]n[/inlmath] pomocu kalkulatora pa kad dode taj broj eto ga

Logaritmi.
Podrazumeva se da koristiš kalkulator koji ima logaritme. Ako nema logaritam za proizvoljnu osnovu, već samo za osnovu [inlmath]e[/inlmath] ili za osnovu [inlmath]10[/inlmath], možeš naći logaritam bilo kog broja [inlmath]a[/inlmath] za bilo koju osnovu [inlmath]b[/inlmath] na sledeći način:
[dispmath]\log_b a=\frac{\ln a}{\ln b}[/dispmath]
Prema tome, za ovaj tvoj primer, [inlmath]2^n=23141513[/inlmath], tražio bi logaritam broja [inlmath]23141513[/inlmath] za osnovu [inlmath]2[/inlmath]:
[dispmath]n=\log_2 23141513=\frac{\ln 23141513}{\ln 2}[/dispmath]
tj. prvo bi na kalkulatoru (u slučaju da nema, a najčešće nema, logaritam za proizvoljnu osnovu) našao prirodni logaritam broja [inlmath]23141513[/inlmath], pa to podelio prirodnim logaritmom broja [inlmath]2[/inlmath].
Eto, isprobaj taj princip za, recimo, [inlmath]2^n=128[/inlmath], [inlmath]2^n=256[/inlmath], [inlmath]2^n=512[/inlmath]...

Hvala na prijasnjem postu!

Evo imam jos koji zadatak.

Nađi diferenciju i broj članova niza u kojem je prvi član niza [inlmath]-4[/inlmath] , [inlmath]n[/inlmath]-ti član niza je [inlmath]66[/inlmath], a suma prvih [inlmath]n[/inlmath] članova niza je [inlmath]1116[/inlmath].

Imaš sve podatke na osnovu kojih možeš izračunati [inlmath]n[/inlmath]:

[inlmath]a_1=-4\quad[/inlmath] ([inlmath]1.[/inlmath] član niza)
[inlmath]a_n=66\quad[/inlmath] ([inlmath]n[/inlmath]-ti član niza)
[inlmath]S_n=1116\quad[/inlmath] (suma prvih [inlmath]n[/inlmath] članova niza)

Suma prvih [inlmath]n[/inlmath] članova niza data je formulom:
[dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)[/dispmath]
i, prostom zamenom brojnih vrednosti, imamo:
[dispmath]1116=\frac{n}{2}\left(-4+66\right)[/dispmath][dispmath]1116=\frac{n}{2}\cdot 62[/dispmath][dispmath]31n=1116[/dispmath][dispmath]n=\frac{1116}{31}[/dispmath][dispmath]n=36[/dispmath]

Kako odrediti diferenciju? Da imam prvi i recimo jos jedan bi mogao, ovako neide?
Šta znaci ovaj [inlmath]n[/inlmath]-ti član niza je [inlmath]66[/inlmath]? Koji je to clan? [inlmath]n[/inlmath]-ti? sta to znaci?
Koliko članova ima ovaj niz? [inlmath]66[/inlmath] mozda?

DommY je napisao:Kako odrediti diferenciju? Da imam prvi i recimo jos jedan bi mogao, ovako neide?

Da, sorry, to sam zaboravio. Diferenciju možeš naći iz formule
[dispmath]a_n=a_1+\left(n-1\right)d[/dispmath]
pa rešavamo po [inlmath]d[/inlmath]:
[dispmath]d=\frac{a_n-a_1}{n-1}[/dispmath]
Zamenimo brojne vrednosti:
[dispmath]d=\frac{66-\left(-4\right)}{36-1}[/dispmath][dispmath]d=\frac{70}{35}[/dispmath][dispmath]d=2[/dispmath]

DommY je napisao:Šta znaci ovaj [inlmath]n[/inlmath]-ti član niza je [inlmath]66[/inlmath]? Koji je to clan? [inlmath]n[/inlmath]-ti? sta to znaci?

To znači da je zadata vrednost tog [inlmath]n[/inlmath]-tog člana niza, a iz toga treba da nađemo koliki je broj [inlmath]n[/inlmath], što sam i učinio u prethodnom postu.

DommY je napisao:Koliko članova ima ovaj niz? [inlmath]66[/inlmath] mozda?

U ovom zadatku, dakle, [inlmath]n[/inlmath] predstavlja broj članova niza. U prethodnom postu sam izračunao da je [inlmath]n=36[/inlmath]. Prema tome, broj članova niza je [inlmath]36[/inlmath].