MATEMANIJA

Znam da sam dosadan al sta cu.
Imam 3 zadatka iz nizova za rijesit i to je to onda. Jesam se razbaco haha

[inlmath]1)[/inlmath] Između [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]25[/inlmath] interpoliraj [inlmath]5[/inlmath] članova tako da niz bude aritmetički. Odredi niz i sumu niza.

[inlmath]2)[/inlmath] Odredi geometrijski niz ako je: [inlmath]\begin{array}{l}a_4-a_2=18 \\a_5-a_3=36\end{array}[/inlmath]

[inlmath]3)[/inlmath] Odredi [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]a_n[/inlmath] geometrijskog niza ako je [inlmath]q=2[/inlmath], [inlmath]a_1=8[/inlmath], [inlmath]S_n=4088[/inlmath].

1) [inlmath]a_1=3[/inlmath]
[inlmath]a_7=25=a_1+6d=3+6d[/inlmath]
[inlmath]d=\frac{11}{3}[/inlmath]
[dispmath]\begin{array}{l}
a_2 = 3 +\frac{11}{3}\\
a_3 = 3 +\frac{22}{3}\\
a_4 =3 +\frac{33}{3} = 14\\
\cdots\\
a_7 = 25
\end{array}[/dispmath]
[dispmath]a_n=a_1+(n-1)d\\
a_n=3+\frac{11}{3}(n-1)[/dispmath]
[dispmath]\cdots[/dispmath]
2)
[dispmath]a_1q^3-a_1q=18\\
a_1q^4-a_1q^2=36[/dispmath]
Podeliš drugu jednačinu sa prvom:
[dispmath]\frac{q^4-q^2}{q^3-q}=2[/dispmath]
Rešiš po [inlmath]q[/inlmath], itd.

3)
[dispmath]a_1\frac{1-q^n}{1-q}=S_n[/dispmath][dispmath]\frac{2^n-1}{2-1}=\frac{4088}{8}=511[/dispmath]
[dispmath]2^n=512=2^9[/dispmath][dispmath]n=9[/dispmath]
[dispmath]\cdots[/dispmath]

1. mi je jasno sve.

2. Zasto djelit prvu jednadzbu s drugom? Nemogu povezat zasto kako..?

3. isto tako sve je jasno
jedino npr ne kuzim kako bi inace nasao koliko je [inlmath]n[/inlmath], ako bi npr imao ovako; [inlmath]2^n=6578[/inlmath]
[inlmath]2^n=512[/inlmath] znam napamet, [inlmath]2^7=128[/inlmath], [inlmath]2^8=256[/inlmath], [inlmath]2^9=512[/inlmath] itd to znam napamet al kako bi dobio [inlmath]n[/inlmath] u ovom primjeru s [inlmath]6578[/inlmath] ?

DommY je napisao:2.Zasto djelit prvu jednadzbu s drugom? Nemogu povezat zasto kako..?

To je najlakši način da se odredi koliko je [inlmath]q[/inlmath]. Skrati se [inlmath]a_1[/inlmath] i ostane jednačina u kojoj figuriše samo [inlmath]q[/inlmath] kao nepoznata.

DommY je napisao:3. isto tako sve je jasno
jedino npr ne kuzim kako bi inace nasao koliko je [inlmath]n[/inlmath], ako bi npr imao ovako; [inlmath]2^n=6578[/inlmath]
[inlmath]2^n=512[/inlmath] znam napamet, [inlmath]2^7=128[/inlmath], [inlmath]2^8=256[/inlmath], [inlmath]2^9=512[/inlmath] itd to znam napamet al kako bi dobio [inlmath]n[/inlmath] u ovom primjeru s [inlmath]6578[/inlmath] ?

1. način – digitron (ako je dozvoljen)
2. način – rastavljanje broja na činioce (baš sam pre par sati u jednom drugom postu napisao postupak).

2. Evo ide slika, jer neznam kako da to sve rjesim, imam [inlmath]q^2[/inlmath], [inlmath]q^4[/inlmath]...sta ce ovo mozda bit [inlmath]4[/inlmath] rjesenja ? pls da nebude...
[dispmath]\begin{array}{l}
a_4-a_2=18\\
\underline{a_5-a_3=36}\\
a_1q^3-a_1q=18\\
\underline{a_1q^4-a_1q^2=36}\\
a_1\left(q^3-q\right)=18\quad\Rightarrow\quad a_1=\frac{18}{q^3-q}\\
\underline{a_1\left(q^4-q^2\right)=36}\\
\frac{18}{q^3-q}\left(q^4-q^2\right)=36\\
\frac{18q^4-18q^2}{q^3-q}=36\quad /:18\\
\frac{q^4-q^2}{q^3-q}=2
\end{array}[/dispmath]
a sta se tice ovog trećega, kako cu s kalkulatorom izracunat [inlmath]2^n=23141513[/inlmath]?
Kako cu nac [inlmath]n[/inlmath]? necu valjda pokusavat pogadat koji je broj [inlmath]n[/inlmath] pomocu kalkulatora pa kad dode taj broj eto ga

DommY je napisao:2. Evo ide slika, jer neznam kako da to sve rjesim, imam [inlmath]q^2[/inlmath], [inlmath]q^4[/inlmath]...sta ce ovo mozda bit [inlmath]4[/inlmath] rjesenja ? pls da nebude...

Ne brini, neće.
Imaš, znači, jednačinu
[dispmath]\frac{q^4-q^2}{q^3-q}=2[/dispmath]
Središ je na sledeći način:
[dispmath]\frac{q^2\left(q^2-1\right)}{q\left(q^2-1\right)}=2[/dispmath]
I, posle skraćivanja [inlmath]q[/inlmath] sa [inlmath]q[/inlmath] i [inlmath]\left(q^2-1\right)[/inlmath] sa [inlmath]\left(q^2-1\right)[/inlmath], ostaje samo
[dispmath]q=2[/dispmath]

DommY je napisao:a sta se tice ovog trećega, kako cu s kalkulatorom izracunat [inlmath]2^n=23141513[/inlmath]?
Kako cu nac [inlmath]n[/inlmath]? necu valjda pokusavat pogadat koji je broj [inlmath]n[/inlmath] pomocu kalkulatora pa kad dode taj broj eto ga

Logaritmi.
Podrazumeva se da koristiš kalkulator koji ima logaritme. Ako nema logaritam za proizvoljnu osnovu, već samo za osnovu [inlmath]e[/inlmath] ili za osnovu [inlmath]10[/inlmath], možeš naći logaritam bilo kog broja [inlmath]a[/inlmath] za bilo koju osnovu [inlmath]b[/inlmath] na sledeći način:
[dispmath]\log_b a=\frac{\ln a}{\ln b}[/dispmath]
Prema tome, za ovaj tvoj primer, [inlmath]2^n=23141513[/inlmath], tražio bi logaritam broja [inlmath]23141513[/inlmath] za osnovu [inlmath]2[/inlmath]:
[dispmath]n=\log_2 23141513=\frac{\ln 23141513}{\ln 2}[/dispmath]
tj. prvo bi na kalkulatoru (u slučaju da nema, a najčešće nema, logaritam za proizvoljnu osnovu) našao prirodni logaritam broja [inlmath]23141513[/inlmath], pa to podelio prirodnim logaritmom broja [inlmath]2[/inlmath].
Eto, isprobaj taj princip za, recimo, [inlmath]2^n=128[/inlmath], [inlmath]2^n=256[/inlmath], [inlmath]2^n=512[/inlmath]...

Hvala na prijasnjem postu!

Evo imam jos koji zadatak.

Nađi diferenciju i broj članova niza u kojem je prvi član niza [inlmath]-4[/inlmath] , [inlmath]n[/inlmath]-ti član niza je [inlmath]66[/inlmath], a suma prvih [inlmath]n[/inlmath] članova niza je [inlmath]1116[/inlmath].

Imaš sve podatke na osnovu kojih možeš izračunati [inlmath]n[/inlmath]:

[inlmath]a_1=-4\quad[/inlmath] ([inlmath]1.[/inlmath] član niza)
[inlmath]a_n=66\quad[/inlmath] ([inlmath]n[/inlmath]-ti član niza)
[inlmath]S_n=1116\quad[/inlmath] (suma prvih [inlmath]n[/inlmath] članova niza)

Suma prvih [inlmath]n[/inlmath] članova niza data je formulom:
[dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)[/dispmath]
i, prostom zamenom brojnih vrednosti, imamo:
[dispmath]1116=\frac{n}{2}\left(-4+66\right)[/dispmath][dispmath]1116=\frac{n}{2}\cdot 62[/dispmath][dispmath]31n=1116[/dispmath][dispmath]n=\frac{1116}{31}[/dispmath][dispmath]n=36[/dispmath]

Kako odrediti diferenciju? Da imam prvi i recimo jos jedan bi mogao, ovako neide?
Šta znaci ovaj [inlmath]n[/inlmath]-ti član niza je [inlmath]66[/inlmath]? Koji je to clan? [inlmath]n[/inlmath]-ti? sta to znaci?
Koliko članova ima ovaj niz? [inlmath]66[/inlmath] mozda?

DommY je napisao:Kako odrediti diferenciju? Da imam prvi i recimo jos jedan bi mogao, ovako neide?

Da, sorry, to sam zaboravio. Diferenciju možeš naći iz formule
[dispmath]a_n=a_1+\left(n-1\right)d[/dispmath]
pa rešavamo po [inlmath]d[/inlmath]:
[dispmath]d=\frac{a_n-a_1}{n-1}[/dispmath]
Zamenimo brojne vrednosti:
[dispmath]d=\frac{66-\left(-4\right)}{36-1}[/dispmath][dispmath]d=\frac{70}{35}[/dispmath][dispmath]d=2[/dispmath]

DommY je napisao:Šta znaci ovaj [inlmath]n[/inlmath]-ti član niza je [inlmath]66[/inlmath]? Koji je to clan? [inlmath]n[/inlmath]-ti? sta to znaci?

To znači da je zadata vrednost tog [inlmath]n[/inlmath]-tog člana niza, a iz toga treba da nađemo koliki je broj [inlmath]n[/inlmath], što sam i učinio u prethodnom postu.

DommY je napisao:Koliko članova ima ovaj niz? [inlmath]66[/inlmath] mozda?

U ovom zadatku, dakle, [inlmath]n[/inlmath] predstavlja broj članova niza. U prethodnom postu sam izračunao da je [inlmath]n=36[/inlmath]. Prema tome, broj članova niza je [inlmath]36[/inlmath].

Diferenciju ili razliku [inlmath]d[/inlmath] određujemo iz formule [inlmath]a_n=a_1+(n-1)d[/inlmath], gdje je [inlmath]n[/inlmath] redni broj člana aritmetičkog niza. Piše ti da je [inlmath]a_n=66[/inlmath] tj. piše ti da je broj [inlmath]66[/inlmath] [inlmath]n[/inlmath]-ti član tog niza. Daniel ti je to rješia i dobia da je [inlmath]n=36[/inlmath]. Dakle, broj [inlmath]66[/inlmath] je [inlmath]36.[/inlmath] član tog niza.
Pa kolika je onda diferencija ovog niza?
[dispmath]d=\frac{a_n-a_1}{(n-1)}=\frac{66-(-4)}{36-1}=2[/dispmath]
Dakle bit će ti niz od prvog člana [inlmath]-4[/inlmath], pa [inlmath]-2,0,2,4,6,8,\dots 66[/inlmath].

Hvala, kuzim sve.
Sada imam jos 2 zadatka koja neznam i jedan ako mozete provjerit jer nisam siguran da li je točno riješen.

Tekst zadatka ide ovako: (isto je napisano na papiru, stavljam ako ne razumijete moj rukopis:D)

9.1. Napiši opći član i nađi prva tri člana aritmetičkog niza kojem je drugi član jednak [inlmath]2[/inlmath], a umnožak prvog i šestog člana jednak [inlmath]6[/inlmath].

Evo imam jos ovaj zadatak i jedan iz limesa.

Tri broja, od kojih je srednji [inlmath]5[/inlmath], čine aritmetički niz. Ako prvom dodamo jedan, a drugom i trećem oduzmemo jedan, dobit ćemo geometrijski niz. Odredi te brojeve.

ovako sam isao
[inlmath]a,b,c\rightarrow a,5,c[/inlmath] to je aritm niz
[inlmath]a+1,b-1,c-1[/inlmath] to je geometrijski niz

[inlmath]5=a+\frac{c}{2}[/inlmath] aritm niz
[inlmath]b-1=\sqrt{(a+1)\cdot (9-a)}[/inlmath]
i onda mi iz ove druge jednadzbe dode [inlmath]b^2[/inlmath] i [inlmath]a^2[/inlmath] i onda neznam kako dalje s time?
hvala!

DommY je napisao:[inlmath]5=a+\frac{c}{2}[/inlmath] aritm niz
[inlmath]b-1=\sqrt{(a+1)\cdot (9-a)}[/inlmath]
i onda mi iz ove druge jednadzbe dode [inlmath]b^2[/inlmath] i [inlmath]a^2[/inlmath] i onda neznam kako dalje s time?
hvala!

Zaboravio si da ti je [inlmath]b[/inlmath] poznato, [inlmath]b=5[/inlmath].

Znači, umesto [inlmath]b-1[/inlmath] napiši [inlmath]4[/inlmath] i dobićeš kvadratnu jednačinu po [inlmath]a[/inlmath].

Da imas pravo, koji sam ja panj, znao sam da nesto fali
Evo uspio sam rjesit, valjda ce bit uredu.
Hvala!

DommY je napisao:9.1. Napiši opći član i nađi prva tri člana aritmetičkog niza kojem je drugi član jednak [inlmath]2[/inlmath], a umnožak prvog i šestog člana jednak [inlmath]6[/inlmath].

Lepo si napisao da je [inlmath]a_1\cdot a_6=6[/inlmath], a zatim si u sledećem koraku napravio grešku jer si umesto množenja stavio sabiranje i napisao [inlmath]a_1+a_1+5d=6[/inlmath].
I onda ti to uprska ceo dalji postupak...

Ufff...
hvala
odo ispravljat

Daniel je napisao:

DommY je napisao:[inlmath]5=a+\frac{c}{2}[/inlmath] aritm niz
[inlmath]b-1=\sqrt{(a+1)\cdot (9-a)}[/inlmath]
i onda mi iz ove druge jednadzbe dode [inlmath]b^2[/inlmath] i [inlmath]a^2[/inlmath] i onda neznam kako dalje s time?
hvala!

Zaboravio si da ti je [inlmath]b[/inlmath] poznato, [inlmath]b=5[/inlmath].

Znači, umesto [inlmath]b-1[/inlmath] napiši [inlmath]4[/inlmath] i dobićeš kvadratnu jednačinu po [inlmath]a[/inlmath].

Sve si OK uradio, rešenja su ispravna (komentarišem fotku postupka koju si priložio), ali, zaboga... zašto [inlmath]\left(b-1\right)^2[/inlmath] razvijaš kada ti je [inlmath]b[/inlmath] poznato? Nema potrebe. Lepo umesto [inlmath]\left(b-1\right)^2[/inlmath] napišeš [inlmath]4^2[/inlmath], tj. [inlmath]16[/inlmath] i to je to... Nikakvo razvijanje binoma...

hahahah.. vjerovatno zato jer sam zbunjen i umoran, danas radim matematiku nekih 6-7 sati eto sta radi matematik
Radim duze umisto krace, skuzia sam to kasnije da dode jednako al sam pustio nek bude ionako je isto

Evo rjesio sam ga ponovo, valjda sad nisam zeznuo...
Pitanje:
Dobio sam 2. niza dali je to moguce?

DommY je napisao:Evo rjesio sam ga ponovo, valjda sad nisam zeznuo...

Sve je OK!

DommY je napisao:Pitanje:
Dobio sam 2. niza dali je to moguce?

A zašto da ne? Pa i u prošlom zadatku si kao moguća rešenja dobio dva niza. To je i logično, pošto si imao kvadratnu jednačinu, a kvadratna jednačina daje dva rešenja.

Evo, ispisaćemo prvih šest članova i za jedan i za drugi niz:

[inlmath]1, 2, 3, 4, 5, 6\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] proizvod [inlmath]1.[/inlmath] i [inlmath]6.[/inlmath] člana niza je [inlmath]6[/inlmath].

[inlmath]\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3,\frac{7}{2},4\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] proizvod [inlmath]1.[/inlmath] i [inlmath]6.[/inlmath] člana niza je takođe [inlmath]6[/inlmath].

Znači, oba niza ispunjavaju uslove zadatka.

Nemoj samo zaboraviti da nađeš još i opšti član niza, to se isto traži u zadatku

Hvala sad sve kuzim

Da ovo za opci clan sam skuzio kasnije pa sam rjesio.
Dobio sam [inlmath]a_n=\frac{3}{2}+(n-1)d[/inlmath] za prvi aritmeticki niz
i [inlmath]a_n=n[/inlmath] za drugi niz!

DommY je napisao:Dobio sam [inlmath]a_n=\frac{3}{2}+(n-1)d[/inlmath] za prvi aritmeticki niz
i [inlmath]a_n=n[/inlmath] za drugi niz!

Za drugi niz je u redu, ali i za prvi niz moraš opšti član izraziti u funkciji samo od [inlmath]n[/inlmath], dok [inlmath]d[/inlmath] ne sme da ti se pojavljuje u izrazu.

Znači, u izrazu
[dispmath]a_n=\frac{3}{2}+\left(n-1\right)d[/dispmath]
[inlmath]d[/inlmath] zameniš onom vrednošću koju si za njega dobio, a to je [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]:
[dispmath]a_n=\frac{3}{2}+\left(n-1\right)\cdot\frac{1}{2}[/dispmath]
[dispmath]a_n=\frac{n+2}{2}[/dispmath]

Tako je da. Previše matematike za jedan dan heheheh

Imam jos 3 kratka zadatka koja mi nisu jasna.

Ovaj
6. (3) Opći član niza je [inlmath]a_n=24.2-0.6n[/inlmath]. Koliki je zbroj svih pozitivnih članova tog niza?

Ovaj-Za ovo nisam siguran, al ja idem uvrstim [inlmath]n=1[/inlmath], onda dode [inlmath]0[/inlmath] u razlomku, uvrstim [inlmath]2[/inlmath] pa je to valjda prvi clan, i onda jos 2 clana nadem, dakle imam prvi drugi i treci clan, treci je najmanji a prvi najveci iz cega se vidi da je niz strogo padajuci, ALI imam osjecaj da to nije to, da jos nesto fali. Ne moze biti ovako lagano jer ovaj zadatak nosi 3 boda tako da..
7. (3) Zadan je niz s općim članom [inlmath]a_n=\frac{n+2}{n-1},\:n>1[/inlmath]. Dokaži da je niz strogo padajući.

I ovaj- znam rjesenje napamet, dode [inlmath]500[/inlmath], ali sta ce mi ako neznam to zapisat matematicki pa da ljepo dobim rjesenje kako treba! Pa ako mozete
10. (3) Na maturalnoj zabavi organizirana je lutrija sa ukupno [inlmath]2000[/inlmath] brojeva. Koliko se lutrija prodalo u prvom satu prodaje ako je svakog narednog sata prodaja padala za [inlmath]25\%[/inlmath]?


Hvala

DommY je napisao:6. (3) Opći član niza je [inlmath]a_n=24.2-0.6n[/inlmath]. Koliki je zbroj svih pozitivnih članova tog niza?

Niz je očigledno aritmetički, u šta se možemo i uveriti, ako izračunamo razliku dva susedna člana:
[dispmath]a_{n+1}-a_n=24,2-0,6\left(n+1\right)-24,2+0,6n=-0,6[/dispmath]
Pošto je razlika dva susedna člana jednaka konstanti, niz je aritmetički, a pošto je ta konstanta negativna, niz je opadajući.

Prvi član niza je jednak
[dispmath]a_1=24,2-0,6=23,6[/dispmath]
tj. pozitivan je.

Zaključujemo, pošto je niz opadajući a prvi član pozitivan, da je prvih [inlmath]k[/inlmath] članova niza pozitivno, a članovi počevši od [inlmath]a_{k+1}[/inlmath] pa nadalje su negativni. Nas interesuje zbir svih pozitivnih članova, tj. zbir tih prvih [inlmath]k[/inlmath] članova niza. Treba da odredimo koliko je [inlmath]k[/inlmath].
[dispmath]a_n>0[/dispmath]
[dispmath]24,2-0,6n>0[/dispmath]
[dispmath]n<\frac{24,2}{0,6}[/dispmath]
[dispmath]n<40,333\dots[/dispmath]
[dispmath]n\le 40[/dispmath]
[inlmath]k[/inlmath] bi bio maksimalan [inlmath]n[/inlmath] za koje je član niza pozitivan, prema tome, [inlmath]k=40[/inlmath].

Znači, tražimo sumu [inlmath]S_{40}[/inlmath]:
[dispmath]S_{40}=\frac{40}{2}\left(a_1+a_{40}\right)[/dispmath]
[inlmath]a_1[/inlmath] smo već izračunali, to je [inlmath]23,6[/inlmath].
[dispmath]a_{40}=24,2-0,6\cdot 40=0,2[/dispmath]
[dispmath]S_{40}=\frac{40}{2}\left(23,6+0,2\right)[/dispmath]
[dispmath]S_{40}=476[/dispmath]

DommY je napisao:Ovaj-Za ovo nisam siguran, al ja idem uvrstim [inlmath]n=1[/inlmath], onda dode [inlmath]0[/inlmath] u razlomku, uvrstim [inlmath]2[/inlmath] pa je to valjda prvi clan, i onda jos 2 clana nadem, dakle imam prvi drugi i treci clan, treci je najmanji a prvi najveci iz cega se vidi da je niz strogo padajuci, ALI imam osjecaj da to nije to, da jos nesto fali. Ne moze biti ovako lagano jer ovaj zadatak nosi 3 boda tako da..
7. (3) Zadan je niz s općim članom [inlmath]a_n=\frac{n+2}{n-1},\:n>1[/inlmath]. Dokaži da je niz strogo padajući.

Nije bilo potrebe da uvrštavaš [inlmath]n=1[/inlmath], jasno je dat uslov da je [inlmath]n>1[/inlmath], upravo zbog te nule u imeniocu koja bi se dobila kada bi [inlmath]n[/inlmath] bilo jedinica.
Takođe, nisi morao da računaš ni tih prvih nekoliko članova niza, postoji tačno određen i egzaktan postupak kako se ispituje monotonost niza.
Ako je za svako [inlmath]n[/inlmath] zadovoljeno [inlmath]a_{n+1}<a_n[/inlmath], tj. ako je svaki član niza manji od prethodnog, niz je, logično, opadajući.

[inlmath]a_{n+1}<a_n\quad[/inlmath] – ovu nejednakost, dakle, treba dokazati
[dispmath]\frac{\left(n+1\right)+2}{\left(n+1\right)-1}<\frac{n+2}{n-1}[/dispmath]
[dispmath]\frac{n+3}{n}<\frac{n+2}{n-1}[/dispmath]
Pošto su i [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]\left(n-1\right)[/inlmath] pozitivni, možemo obe strane nejednakosti pomnožiti sa [inlmath]n\left(n-1\right)[/inlmath], ne narušavajući pri tom znak nejednakosti:
[dispmath]\left(n+3\right)\left(n-1\right)<n\left(n+2\right)[/dispmath]
[dispmath]n^2+2n-3<n^2+2n[/dispmath]
i, posle skraćivanja, ostaje
[dispmath]-3<0[/dispmath]
što je zadovoljeno za svako [inlmath]n[/inlmath], čime je dokazano da je niz monotono opadajući.

DommY je napisao:I ovaj- znam rjesenje napamet, dode [inlmath]500[/inlmath], ali sta ce mi ako neznam to zapisat matematicki pa da ljepo dobim rjesenje kako treba! Pa ako mozete
10. (3) Na maturalnoj zabavi organizirana je lutrija sa ukupno [inlmath]2000[/inlmath] brojeva. Koliko se lutrija prodalo u prvom satu prodaje ako je svakog narednog sata prodaja padala za [inlmath]25\%[/inlmath]?

Ili ja ovaj zadatak ne shvatam, ili ovde fale dva podatka – koliko sati je zabava trajala i koliko je ukupno brojeva prodato tokom zabave. Evo kako ja rezonujem – u pitanju je opadajući geometrijski niz, u kome opšti član [inlmath]a_n[/inlmath] označava broj prodatih lutrija u [inlmath]n[/inlmath]-tom satu. Budući da svakog sata prodaja pada za [inlmath]25\%[/inlmath], količnik niza [inlmath]q[/inlmath] je jednak [inlmath]0,75[/inlmath]. Traži se koliko je lutrija prodato u prvom satu, a to bi bio prvi član niza, [inlmath]a_1[/inlmath].
[inlmath]a_1[/inlmath] bismo mogli naći iz formule za sumu geometrijskog niza
[dispmath]S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}[/dispmath]
kada bismo imali podatak koliko je lutrija ukupno prodato [inlmath]\left(S_n\right)[/inlmath], kao i podatak koliko sati je zabava trajala [inlmath]\left(n\right)[/inlmath]. Ali, te podatke nemamo. Podatak da lutrija ima [inlmath]2000[/inlmath] brojeva ništa nam ne govori, jer u zadatku nigde nije rečeno da su svi brojevi tokom zabave prodati.

Ovo je samo moje razmišljanje, ali pretpostavljam da negde grešim.

Zato ako bi mogao da mi pojasniš, na koji način si dobio [inlmath]500[/inlmath]?

Pozdrav,
Zadatak kaže da je zbroj triju uzastopnih članova geometrijskog niza jednak iznosu od [inlmath]74[/inlmath], a zbroj njihovih kvadrata je [inlmath]1924[/inlmath]. Koji su to brojevi?

Na kraju knjige ima i neka uputa za rješenje, pa kaže;
Iz prve jednadžbe sustava [inlmath]a_1(q^2+q+1)=74[/inlmath], [inlmath]a_1^2(q^4+q^2+1)=1924[/inlmath], dobijemo [inlmath]a_1=\frac{74}{q^2+q+1}[/inlmath]

E sad ne kužin logiku kojom su dobili ove jednadžbe jer se ove jednadžbe dobiju kada bi govorili o prva tri člana aritmetičkog niza, a ne o tri uzastopna ka šta je zadano ?

Dalje kaže; [inlmath]a_1[/inlmath] uvrstimo u drugu jednadžbu i dobijemo [inlmath]\frac{37(1-q+q^2)}{q^2+q+1}=13[/inlmath]. Dobijemo brojeve [inlmath]32,24,18[/inlmath]. Tako su rješenje dva niza [inlmath]32,24,18,\dots[/inlmath] i [inlmath]18,24,32,\dots[/inlmath]
Kako se dobije ova jednadžba kad se uvrsti [inlmath]a_1[/inlmath] ?

Dati podfniz geometrijskog niza je takođe geometrijski niz, jer će količnik između njegovih članova biti konstanan ako je takav i kod glavnog niza. Zato možeš bez problema bilo koja tri uzastopna člana geometrijskog niza smatrati zasebnim geometrijskim nizom. I onda u okviru tog podniza numerišeš članove onako kako su i oni, pa ćeš doći do tih jednačina.

A što se tiče ovog drugog, iskoristi sledeći indentitet i sve će ti biti jasno.
[dispmath]q^4+q^2+1=\left(q^2-q+1\right)\left(q^2+q+1\right)[/dispmath]

E to, koji je to indentitet? Mislim da ga nismo baš koristili do sad

Nisam mislio na identitet kao neku ustaljenu formulu nego kao jednakost. Koja se, uzgred, vrlo lako dokazuje, samo što sam hteo da dokaz prepustim tebi. Ali, evo.
[dispmath]q^4+q^2+1=q^4+q^2+1+q^2-q^2=q^4+2q^2+1-q^2=\left(q^2+1\right)^2-q^2=\left(q^2+q+1\right)\left(q^2-q+1\right)[/dispmath]

U geometrijskom nizu je [inlmath]S_3=40,\;S_6=60[/inlmath]. Koliko je [inlmath]S_9[/inlmath]?

Dobia sam dvi jednadžbe pomoću formule za broj prvih [inlmath]n[/inlmath] članova geo. niza;
[dispmath]\begin{array}{l}
a_1\left(q^3-1\right)=40(q-1)\\
\underline{a_1\left(q^6-1\right)=60(q-1)}\\
a_1\left(q^3-1\right)=40(q-1)\\
\underline{a_1\left(q^3-1\right)\left(q^3+1\right)=60(q-1)}\\
\frac{1}{q^3+1}=\frac{4}{6}\\
q^3=\frac{1}{2}
\end{array}[/dispmath]
I sad u knjizi piše za rješenje [inlmath]S_9=S_6+20\cdot\frac{1}{2}=70[/inlmath]
Ko će mi prevest šta se dogodi u zadnjem koraku?

Mislim da je najlakše da se ovako nastavi...
[dispmath]S_9=a_1\frac{q^9 -1}{q-1}[/dispmath]
[dispmath]S_9=a_1\frac{\left(q^3-1\right)\left(q^6+q^3+1\right)}{q-1}[/dispmath][dispmath]S_9=a_1\frac{q^3-1}{q-1}\cdot\left(q^6+q^3+1\right)[/dispmath]
[dispmath]S_9=S_3\cdot\left(q^6+q^3+1\right)[/dispmath]
[dispmath]S_9=40\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)[/dispmath][dispmath]S_9=40\cdot\frac{7}{4}[/dispmath]
[dispmath]S_9=70[/dispmath]

1. Zbir [inlmath]3[/inlmath] broja kojii obrazuju rastucu geometrijsku progresiju je [inlmath]126[/inlmath]. Ako je srednji član [inlmath]24[/inlmath], najmanji član jednak je...?

2. Brojevi [inlmath]a_1,a_2,a_3[/inlmath] su tri uzastopna člana geometrijske progresije s količnikom [inlmath]q=2[/inlmath], a brojevi [inlmath]a_2,a_3,a_4[/inlmath] su tri uzastopna člana aritmetičke progresije s razlikom [inlmath]d=6[/inlmath]. Zbir [inlmath]a_1+a_2+a_3+a_4[/inlmath] je...?

3. Brojevi [inlmath]a_1,a_2,\dots ,a_{21}[/inlmath] čine aritmeticku progresiju. Poznato je da je zbir članova ove aritmetičke progresije sa neparnim indeksima za [inlmath]15[/inlmath] veći od zbira članova sa parnim indeksima. Ako je [inlmath]a_{20}=3a_9[/inlmath], onda je zbir cifara srednjeg člana ove progresije jednak...?

4. Prvi članovi geometrijske progresije i strogo rastuće aritmetičke progresije jednaki su [inlmath]2[/inlmath]. Treći članovi tih progresija takodje su jednaki. Ako je drugi član A- niza za [inlmath]4[/inlmath] veći od drugog člana g-progresije, onda je zbir njihovih četvrtih članova jednak?

5. Prvi, treći i sedmi član aritmetičke progresije čine prva tri člana geometrijske progresije. Četvrti član geometrijske progresije je u a-progresiji?

smAshh je napisao:1. Zbir [inlmath]3[/inlmath] broja kojii obrazuju rastucu geometrijsku progresiju je [inlmath]126[/inlmath]. Ako je srednji član [inlmath]24[/inlmath], najmanji član jednak je...?

Na osnovu ovih podataka članove niza možemo pisati kao [inlmath]\frac{24}{q}[/inlmath], [inlmath]24[/inlmath], [inlmath]24q[/inlmath], gde je [inlmath]q>1[/inlmath], jer se radi o rastućoj progresiji.

Sabereš ih i zbir izjednačiš sa [inlmath]126[/inlmath]. Dobićeš kvadratnu jednačinu po [inlmath]q[/inlmath], koja će imati dva realna rešenja, pri čemu odbacuješ ono koje je manje od jedinice, zbog početnog uslova [inlmath]q>1[/inlmath]. Rešenje koje ostaje biće [inlmath]q=4[/inlmath] i na osnovu toga se odmah vidi i koliki će biti najmanji član niza.

smAshh je napisao:2. Brojevi [inlmath]a_1,a_2,a_3[/inlmath] su tri uzastopna člana geometrijske progresije s količnikom [inlmath]q=2[/inlmath], a brojevi [inlmath]a_2,a_3,a_4[/inlmath] su tri uzastopna člana aritmetičke progresije s razlikom [inlmath]d=6[/inlmath]. Zbir [inlmath]a_1+a_2+a_3+a_4[/inlmath] je...?

Kao i uvek, svaki podatak na koji naiđemo u tekstu odmah izrazimo u obliku jednačine.

Iz podatka da su brojevi [inlmath]a_1[/inlmath], [inlmath]a_2[/inlmath], [inlmath]a_3[/inlmath] tri uzastopna člana geometrijske progresije s količnikom [inlmath]q=2[/inlmath], pišemo dve jednačine:
[dispmath]a_2=2a_1\\
a_3=2a_2[/dispmath]
a iz podatka da su brojevi [inlmath]a_2[/inlmath], [inlmath]a_3[/inlmath], [inlmath]a_4[/inlmath] tri uzastopna člana aritmetičke progresije s razlikom [inlmath]d=6[/inlmath], pišemo sledeće dve jednačine:
[dispmath]a_3=a_2+6\\
a_4=a_3+6[/dispmath]
i imamo sistem od [inlmath]4[/inlmath] jednačine s [inlmath]4[/inlmath] nepoznate. Kada ga rešiš, dobićeš vrednosti sva ova četiri broja, nakon čega ih samo sabereš, budući da se u zadatku traži njihov zbir.

HINT: Pri rešavanju ovog sistema, najlakše ti je da prvo nađeš [inlmath]a_2[/inlmath], izjednačavajući desne strane druge i treće jednačine.

smAshh je napisao:3. Brojevi [inlmath]a_1,a_2,\dots ,a_{21}[/inlmath] čine aritmeticku progresiju. Poznato je da je zbir članova ove aritmetičke progresije sa neparnim indeksima za [inlmath]15[/inlmath] veći od zbira članova sa parnim indeksima. Ako je [inlmath]a_{20}=3a_9[/inlmath], onda je zbir cifara srednjeg člana ove progresije jednak...?

To znači da niz [inlmath]a_1,\:a_2,\:\dots\:,\:a_{21}[/inlmath] podeliš na dva podniza – jedan s neparnim, a drugi s parnim indeksima. Podniz s neparnim indeksima imaće [inlmath]11[/inlmath] članova, a podniz s parnim indeksima imaće [inlmath]10[/inlmath] članova.

Sa [inlmath]S_N[/inlmath] označiš sumu članova podniza s neparnim indeksima, a sa [inlmath]S_P[/inlmath] sumu članova niza s parnim indeksima.

Tada će važiti
[dispmath]S_N=\frac{11}{2}\left(a_1+a_{21}\right)[/dispmath][dispmath]S_P=\frac{10}{2}\left(a_2+a_{20}\right)[/dispmath]
Članove [inlmath]a_2[/inlmath], [inlmath]a_{20}[/inlmath] i [inlmath]a_{21}[/inlmath] izraziš preko [inlmath]a_1[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath], uvrstiš u izraze za ove dve sume, središ, iskoristiš poznat podatak da je [inlmath]S_N=S_P+15[/inlmath], opet to malo središ i dobijaš jednačinu
[dispmath]a_1+10d=15[/dispmath]
Iz podatka [inlmath]a_{20}=3a_9[/inlmath] (kada i u tom izrazu [inlmath]a_{20}[/inlmath] i [inlmath]a_9[/inlmath] izraziš preko [inlmath]a_1[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath]) dobijaš drugu jednačinu
[dispmath]2a_1+5d=0[/dispmath]
koja, zajedno s prethodnom jenačinom, čini sistem od dve jednačine s dve nepoznate ([inlmath]a_1[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath]).

Kad rešiš taj sistem, dobićeš [inlmath]a_1=-5[/inlmath] i [inlmath]d=2[/inlmath].

Sada lako odrediš vrednost srednjeg člana ovog niza (a srednji član je [inlmath]a_{11}[/inlmath]). Sabereš zatim njegove cifre i to je ono što se traži u zadatku. Rezultat treba da bude [inlmath]6[/inlmath].

smAshh je napisao:4. Prvi članovi geometrijske progresije i strogo rastuće aritmetičke progresije jednaki su [inlmath]2[/inlmath]. Treći članovi tih progresija takodje su jednaki. Ako je drugi član A- niza za [inlmath]4[/inlmath] veći od drugog člana g-progresije, onda je zbir njihovih četvrtih članova jednak?

Isto kao i u prethodnim zadacima, pišeš jednačine, pri čemu članove geometrijske progresije označiš, recimo, sa [inlmath]g_n[/inlmath], a članove aritmetičke sa [inlmath]a_n[/inlmath].

Prvi članovi geometrijske i aritmetičke progresije iznose [inlmath]2[/inlmath]:
[dispmath]g_1=2\\
a_1=2[/dispmath]
Treći članovi su jednaki:
[dispmath]g_3=a_3[/dispmath]
[inlmath]2.[/inlmath] član aritmetičkog niza veći je za [inlmath]4[/inlmath] od [inlmath]2.[/inlmath] člana geometrijske progresije:
[dispmath]a_2=g_2+4[/dispmath]
Iskoristili smo sve podatke iz zadatka i dobili sistem od [inlmath]4[/inlmath] jednačine sa [inlmath]6[/inlmath] nepoznatih. Fale nam još dve jednačine da bismo imali sistem [inlmath]6\times 6[/inlmath]. Dodatne dve jednačine biće osobine članova aritmetičkog i geometrijskog niza:
[dispmath]a_1+a_3=2a_2\\
g_1g_3=g_2^2[/dispmath]
Rešavanjem ovog sistema jednačina dobićeš kvadratnu jednačinu po [inlmath]a_2[/inlmath], koja će imati dva realna rešenja. Jedno rešenje će otpasti zbog uslova da je aritmetička progresija strogo rastuća (što znači da [inlmath]a_2[/inlmath] mora biti strogo veće od [inlmath]a_1[/inlmath]), a rešenje koje preostaje će biti [inlmath]a_2=10[/inlmath]. Na osnovu toga možeš lako odrediti sve članove geometrijskog i aritmetičkog niza, uključujući i četvrte članove, koje zatim samo sabereš i njihov zbir će biti traženi rezultat (treba da ispadne [inlmath]80[/inlmath]).

smAshh je napisao:5. Prvi, treći i sedmi član aritmetičke progresije čine prva tri člana geometrijske progresije. Četvrti član geometrijske progresije je u a-progresiji?

Jednačine:
[dispmath]a_1=g_1\\
a_3=g_2\\
a_7=g_3[/dispmath]
Na osnovu osobina aritmetičkog i geometrijskog niza:
[dispmath]a_3=a_1+2d\\
a_7=a_1+6d\\
g_2^2=g_1g_3[/dispmath]
Pošto imamo [inlmath]6[/inlmath] jednačina a [inlmath]7[/inlmath] nepoznatih, ne možemo odrediti tačne vrednosti članova jednog i drugog niza, ali ih možemo sve izraziti preko [inlmath]a_1[/inlmath].

Rešavanjem ovog sistema dobijamo
[dispmath]d=\frac{a_1}{2}[/dispmath]
iz čega lako odredimo i ostale članove niza u funkciji od [inlmath]a_1[/inlmath]:
[dispmath]a_3=2a_1\\
a_7=4a_1[/dispmath]
pa odatle zaključujemo da je količnik geometijskog niza [inlmath]q=2[/inlmath], kao i da će [inlmath]4.[/inlmath] član geometrijskog niza biti [inlmath]g_4=8g_1=8a_1[/inlmath].
Treba naći koji član aritmetičkog niza će biti jednak [inlmath]4.[/inlmath] članu geometrijskog, tj. koji član aritmetičkog niza će biti jednak [inlmath]8a_1[/inlmath].
[dispmath]a_n=8a_1\\
a_1+\left(n-1\right)d=8a_1\\
a_1+\left(n-1\right)\frac{a_1}{2}=8a_1\\
\cdots\\
n=15[/dispmath]
što znači da će [inlmath]15.[/inlmath] član aritmetičkog niza biti jednak [inlmath]4.[/inlmath] članu geometrijskog niza.

Zbog cega se u ovom prvom zadatku prvi clan pise kao [inlmath]\frac{24}{d}[/inlmath], a treci [inlmath]24d[/inlmath]? To mi nije bas jasno...

Zbog toga što se radi o geometrijskom nizu, a za članove geometrijskog niza važi
[dispmath]a_2=a_1\cdot q\\
a_3=a_2\cdot q[/dispmath]
Pošto nam je dato da je [inlmath]a_2=24[/inlmath], onda važi
[dispmath]a_2=a_1\cdot q\quad\Rightarrow\quad 24=a_1\cdot q\quad\Rightarrow\quad a_1=\frac{24}{q}\\
a_3=a_2\cdot q\quad\Rightarrow\quad a_3=24\cdot q[/dispmath]
Možda te je zbunilo to što sam ja, greškom, za količnik geometrijskog niza koristio oznaku [inlmath]d[/inlmath], iako je uobičajeno da se koristi oznaka [inlmath]q[/inlmath], a sa [inlmath]d[/inlmath] se označava razlika aritmetičkog niza. Evo sad sam to ispravio, da te ne buni.

Niz brojeva [inlmath]a_1,a_2,\dots ,a_{100}[/inlmath] je A-niz sa razlikom [inlmath]d[/inlmath]. Zbir poslednjih [inlmath]50[/inlmath] clanova tog niza jednak je trostrukom zbiru prvih [inlmath]50[/inlmath] clanova. Ako je [inlmath]a_1=3[/inlmath], koliko je [inlmath]d[/inlmath]?
Negde sam procitao da je postavka [inlmath]S_{100}=4\cdot S_{50}[/inlmath] sto meni nije logicno? Je l' moze pojasnjenje?

Jeste logično, samo su preskočili jedan korak, pa su odmah napisali taj drugi. Evo postupno:

Zbir poslednjih [inlmath]50[/inlmath] članova niza se dobije kad se od zbira svih [inlmath]100[/inlmath] članova niza oduzme zbir prvih [inlmath]50[/inlmath] članova niza. Znači, zbir poslednjih [inlmath]50[/inlmath] članova niza biće [inlmath]S_{100}-S_{50}[/inlmath].

I onda, pošto imamo podatak da je taj zbir poslednjih [inlmath]50[/inlmath] clanova jednak trostrukom zbiru prvih [inlmath]50[/inlmath] clanova, pišemo to u obliku formule:[dispmath]S_{100}-S_{50}=3S_{50}[/dispmath]i, kada [inlmath]S_{50}[/inlmath] pređe na desnu stranu,[dispmath]S_{100}=3S_{50}+S_{50}[/dispmath][dispmath]S_{100}=4S_{50}[/dispmath]

ahaaa, tacno... imam jos jedan :/
Zbir prvog i drugog člana rastuće g-progresije je devet puta manji od zbira trećeg i četvrtog člana. Ako je prvi član progresije jednak [inlmath]3^{-2010}[/inlmath], onda je [inlmath]2010.[/inlmath] član te progresije jednak...?
postavio sam da je [inlmath]9(a_1+a_2)=a_3+a_4[/inlmath] tj [inlmath]9(a+aq)=aq^2+aq^3[/inlmath].. al ne znam kako odavde [inlmath]q[/inlmath] da izrazim?

[dispmath]9\left(a+aq\right)=aq^2+aq^3[/dispmath][dispmath]9a\left(1+q\right)=aq^2\left(1+q\right)[/dispmath]Skratiš [inlmath]a[/inlmath] i skratiš [inlmath]\left(1+q\right)[/inlmath][dispmath]9=q^2[/dispmath][dispmath]q=\pm 3[/dispmath]Naravno, rešenje s minusom odbacuješ, jer je geometrijska progresija rastuća.

I jos ovaj... u g-nizu [inlmath]a_1,a_2,\dots ,a_{2010},a_{2011}[/inlmath] odnos poslednjeg i srednjeg člana jednak je [inlmath]8^{335}[/inlmath]. Ako je [inlmath]q[/inlmath] količnik te progresije, tada je zbir [inlmath]1+q+q^2+\dots+q^{2011}[/inlmath] jednak?

Poslednji član je [inlmath]a_{2011}=a_1q^{2010}[/inlmath], a srednji član je [inlmath]a_{1006}=a_1q^{1005}[/inlmath].
Podeliš ih, njihov količnik izjednačiš sa [inlmath]8^{335}[/inlmath] i odatle nađeš koliko je [inlmath]q[/inlmath] (dobićeš da je [inlmath]q=2[/inlmath]).

I na kraju, zbir [inlmath]1+q+q^2+\cdots+q^{2011}[/inlmath] računaš prema formuli za sumu geometrijske progresije, [inlmath]S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}[/inlmath], znajući da je [inlmath]a_1=1[/inlmath], [inlmath]q=2[/inlmath], [inlmath]n=2012[/inlmath].

Rešenje je [inlmath]2^{2012}-1[/inlmath].

Zbir svih trocifrenih brojeva deljivih sa [inlmath]11[/inlmath] iznosi:

Trocifreni brojevi su od [inlmath]100[/inlmath] do [inlmath]999[/inlmath], ali prvi broj koji je deljiv sa [inlmath]11[/inlmath] je broj [inlmath]110[/inlmath]. Pa imamo aritmeticki niz:

[inlmath]110,121,132,143,\dots 990[/inlmath] - zato sto je poslednji broj koji je deljiv sa [inlmath]11[/inlmath], broj [inlmath]990[/inlmath].

Imamo [inlmath]81.[/inlmath] clan ovog naseg niza pa racunamo njihov zbir po formuli:
[dispmath]S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d][/dispmath]
[dispmath]S_n=\frac{81}{2}[220+(81-1)11][/dispmath]
[dispmath]S_n=44550[/dispmath]

postoji li neki laksi nacin da se odredi [inlmath]n[/inlmath]? ili moram da brojim?

Nema potrebe za brojanjem, naravno.
[inlmath]n[/inlmath] možeš odrediti iz formule[dispmath]a_n=a_1+\left(n-1\right)d[/dispmath]u kojoj znaš prvi član niza – [inlmath]a_1[/inlmath], znaš poslednji član niza – [inlmath]a_n[/inlmath] i znaš razliku između dva člana niza – [inlmath]d[/inlmath].
Na kraju samo primeniš formulu[dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)[/dispmath](mada može i ona koju je Forzajuve primenio, dođe na isto) – i, gotovo...

Zbir tri uzastopna clana rastuce g-progresije je [inlmath]195[/inlmath]. Ako je treci clan te progresije veci od prvog clana za [inlmath]120[/inlmath], tada je drugi clan jednaK:

postavim da je [inlmath]a_1+a_1q+a_1+120=195[/inlmath] a [inlmath]a_3=a_1+120[/inlmath]
i dobijam [inlmath]2a_1+a_1q=75[/inlmath] sta dalje?

To ti je jedna jednačina s dve nepoznate, treba ti još jedna. Drugu dobiješ iz podatka da je [inlmath]a_3=a_1q^2=a_1+120[/inlmath].

ne mogu da dobijem resenje...

Iz ove druge jednačine koju sam ti napisao, [inlmath]a_1[/inlmath] izraziš preko [inlmath]q[/inlmath]. Zatim taj izraz (u kojem figuriše [inlmath]q[/inlmath]) uvrstiš u prvu jednačinu umesto [inlmath]a_1[/inlmath]. Dobićeš kvadratnu jednačinu po [inlmath]q[/inlmath]. Rešiš je, odbacujući ono rešenje koje ne zadovoljava uslov rastućeg niza. Zatim tako dobijeno [inlmath]q[/inlmath] uvrstiš u bilo koju od polazne dve jednačine i odrediš koliko je [inlmath]a_1[/inlmath]. I kad znaš koliko je [inlmath]a_1[/inlmath] i koliko je [inlmath]q[/inlmath], sasvim lako možeš odrediti i [inlmath]a_2[/inlmath].

ne znam... ja sam radio ali ne mogu da dobijem dobro resenje -.-

OK, aj da vidimo to što si radio, pa ćemo ti reći gde je greška...

pa radio sam kao sto ste mi rekli ali nisam dobio dobro resenje

Znači, još jednom... Imaš dve jednačine s dve nepoznate:
[dispmath]2a_1+a_1q=75\\
a_1q^2=a_1+120[/dispmath]
Samo treba njih da rešiš, ništa više. Dobije se da je [inlmath]q=3[/inlmath] (negativno rešenje za [inlmath]q[/inlmath] odbacujemo, jer je rečeno da je progresija rastuća) i da je [inlmath]a_1=15[/inlmath].

Drugi član će, naravno, biti [inlmath]45[/inlmath]. Koje rešenje si ti dobio?

mozes da napises kako si izrazio [inlmath]a_1[/inlmath] preko [inlmath]q[/inlmath]?

Mogu, naravno.
Sve sabirke koji sadrže [inlmath]a_1[/inlmath] grupišeš na levu stranu jednačine, a sabirke koji ne sadrže [inlmath]a_1[/inlmath] prebaciš na desnu stranu jednačine.
Zatim, na levoj strani jednačine [inlmath]a_1[/inlmath] izvučeš ispred zagrade, kao zajednički faktor (zakon distribucije za množenje).
Tim izrazom u zagradi podeliš i levu i desnu stranu jednačine i time dobiješ izraz za [inlmath]a_1[/inlmath].

Evo kako to izgleda na sličnom primeru, u kojem figurišu nepoznate [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]p[/inlmath], a mi treba [inlmath]x[/inlmath] da izrazimo preko [inlmath]p[/inlmath]:[dispmath]2x-p=p^2x+4[/dispmath]Grupišemo na levu stranu sabirke koji sadrže [inlmath]x[/inlmath], a na desnu stranu sabirke koji ga ne sadrže:[dispmath]2x-p^2x=p+4[/dispmath]Na levoj strani izvučemo [inlmath]x[/inlmath] kao zajednički faktor:[dispmath]x\left(2-p^2\right)=p+4[/dispmath]I na kraju, obe strane jednačine podelimo izrazom koji je u zagradi:[dispmath]x=\frac{p+4}{2-p^2}[/dispmath]E sad, ti primeni isti takav princip na drugu od one dve jednačine, tj. na [inlmath]a_1q^2=a_1+120[/inlmath].

Niz brojeva [inlmath]a_1,a_2,a_3,\dots ,a_{100}[/inlmath] je aritmetički. Zbir poslednjih [inlmath]50[/inlmath] članova tog niza jednak je dvostrukom zbiru prvih pedeset članova. Ako je [inlmath]a_1=51[/inlmath], onda je član [inlmath]a_{100}[/inlmath] jednak:

Je li [inlmath]d=2[/inlmath] ?

Yup. 'Oćeš ti?

Inače, imali smo već u ovoj temi gotovo identičan zadatak, samo s drugim brojnim vrednostima...

Da da da
[dispmath]2\cdot 25(a_1+a_{50})=25(a_{51}+a_{100})\\
50[51+(51+49d)]=25(51+50d+51+99d)\\
50(102+49d)=25(102+149d)\\
-51d=-102\\
d=2[/dispmath][dispmath]a_{100}=51+198\\
a_{100}=249[/dispmath]

Ima jedan koji kaže da u geometrijskom nizu s pozitivnim članovima zbroj drugog i trećeg jednak je prvom i traži se kvocijent.
[dispmath]a_1=a_1q+a_1q^2[/dispmath]
I sad kaže da je to
[dispmath]a_2+a_3=(a_2+a_3)\left(q+q^2\right)[/dispmath]
Odakle se dobije kvocijent, ali nije mi baš jasno kako smo dobili ovu jednadžbu.

Oni su samo u prvoj jednačini,
[dispmath]a_1=a_1q+a_1q^2[/dispmath]
[inlmath]a_1[/inlmath] izvukli ispred zagrade:
[dispmath]a_1=a_1\left(q+q^2\right)[/dispmath]
a zatim [inlmath]a_1[/inlmath] napisali kao [inlmath]a_2+a_3[/inlmath] i dobili tu jednačinu koja te buni,
[dispmath]a_2+a_3=\left(a_2+a_3\right)\left(q+q^2\right)[/dispmath]

Da smo u polaznoj jednačini skratili [inlmath]a_1[/inlmath] na levoj i [inlmath]a_1[/inlmath] na desnoj strani, dobili bismo
[dispmath]1=q+q^2[/dispmath]
ali tada bismo izgubili iz razmatranja moguć slučaj da je [inlmath]a_1=a_2+a_3=0[/inlmath], koji je takođe potrebno razmatrati...

Zapravo to se i dobije jer krate [inlmath](a_2+a_3)[/inlmath] šta dođe na isto...
A u početku kaže da se radi o pozitivnim članovima koji očito ne mogu bit [inlmath]0[/inlmath]

Da, da... promaklo mi je to da su članovi pozitivni. E pa, onda su, ako mene pitaš, sve to nepotrebno zakomplikovali.
Onda su samo mogli u jednačini
[dispmath]a_1=a_1q+a_1q^2[/dispmath]
da krate [inlmath]a_1[/inlmath], pošto on ne može biti jednak nuli, pa ostaje samo
[dispmath]1=q+q^2[/dispmath]
i dalje rešavaš kvadratnu...