MATEMANIJA

Neka je [inlmath]s=1+q+q^2+\cdots\;(|q|<1)[/inlmath] i [inlmath]S=1+Q+Q^2+\cdots\;(|Q|<1)[/inlmath], gde su [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]S[/inlmath] dati brojevi. Čemu je jednak zbir [inlmath]1+qQ+q^2Q^2+q^3Q^3+\cdots[/inlmath]?

Rešenje:
[dispmath]\frac{s\cdot S}{s+S-1}[/dispmath]
Nemam neku ideju za rešavanje.

Suma članova geometrijskog reda jednaka je:
[dispmath]\sum_{k=0}^{\infty}a^k=\frac{1}{1-a};\quad|a|<1[/dispmath]
Primeni ovo tri puta, za [inlmath]a=q[/inlmath], zatim [inlmath]a=Q[/inlmath] i [inlmath]a=qQ[/inlmath]. Dalje ne bi trebalo da je problem.

Evo i dodatnog pojašnjenja, ako ti nije poznat pomenuti detalj iz teorije redova (važi za [inlmath]|a|<1[/inlmath]):
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^na^k=\lim_{n\to\infty}\left(1+a+a^2+a^3+\cdots\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{1-a^{n+1}}{1-a}=\frac{1}{1-a}[/dispmath]

Pošto je ovo zadatak sa prijemnog na kome su predviđeni samo nizovi, bez dela o redovima (koliko sam ja upućen), ne znam kako im se provukao ovakav zadatak. Može li se on nekako drugačije rešiti? Inače, ovaj način mi je jasan.

Do te formule možeš doći i poznajući formulu za sumu prvih [inlmath]n[/inlmath] članova geometrijskog niza:
[dispmath]S_n=a+aq+aq^2+aq^3+\cdots+aq^{n-1}=a\frac{1-q^n}{1-q}[/dispmath]
Pošto je kod tebe prvi član jednak jedinici, tj. [inlmath]a=1[/inlmath], formula se svodi na
[dispmath]S_n=\frac{1-q^n}{1-q}[/dispmath]
Takođe, pošto je [inlmath]\left|q\right|<1[/inlmath] i [inlmath]n\to\infty[/inlmath], tada [inlmath]q^n\to0[/inlmath], tako da se formula na kraju svodi na
[dispmath]S=\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\cancelto{0}{q^n}}{1-q}=\frac{1}{1-q}[/dispmath]

Izvinite momci ali ne uspeva mi da u funkciji [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]S[/inlmath] iskažem ovaj konačni zbir.

Tj. dolazim do formule
[dispmath]\frac{1}{1-qQ}[/dispmath]
Kako dalje postupno do rešenja?

Dobio si da je
[dispmath]s=\frac{1}{1-q}\quad\Rightarrow\quad q=\cdots[/dispmath]
kao i da je
[dispmath]S=\frac{1}{1-Q}\quad\Rightarrow\quad Q=\cdots[/dispmath]
Dobijene izraze za [inlmath]q[/inlmath] i [inlmath]Q[/inlmath] u zavisnosti od [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]S[/inlmath] uvrstiš u taj izraz [inlmath]\frac{1}{1-qQ}[/inlmath] i središ ga...

Hvala ti boss !