MATEMANIJA

Dobro veče.
Kako se računa (da li uopšte može) suma nizova kao što je ovaj na primer?
[dispmath]1^2+3^2+\cdots +(2n-1)^2[/dispmath]

Dobro veče. Au, al' smo nešto zvanični večeras!

Može da se računa, naravno. Iskoristićemo formulu za kub binoma:
[dispmath]\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/dispmath]
tj. slučaj koji ćemo mi koristiti u rešavanju ove sume:
[dispmath]\left(n+2\right)^3=n^3+6n^2+12n+8[/dispmath]
Sumu koju tražimo označićemo sa [inlmath]S[/inlmath]:
[dispmath]S=1^2+3^2+\cdots +\left(2n-1\right)^2[/dispmath]
i, krećemo:
[dispmath]\begin{array}{l}
3^3=\left(1+2\right)^3=1^3+6\cdot 1^2+12\cdot 1+8\\
5^3=\left(3+2\right)^3=3^3+6\cdot 3^2+12\cdot 3+8\\
7^3=\left(5+2\right)^3=5^3+6\cdot 5^2+12\cdot 5+8\\
\vdots\\
\left(2n-1\right)^3=\left[\left(2n-3\right)+2\right]^3=\left(2n-3\right)^3+6\cdot \left(2n-3\right)^2+12\cdot \left(2n-3\right)+8\\
\left(2n+1\right)^3=\left[\left(2n-1\right)+2\right]^3=\left(2n-1\right)^3+6\cdot \left(2n-1\right)^2+12\cdot \left(2n-1\right)+8\\
\\ \hline
\end{array}[/dispmath]
(Sad lepo saberemo leve i desne strane ovih izraza, imajući u vidu skraćivanje kubova koji se pojavljuju s obe strane.)
[dispmath]\left(2n+1\right)^3=1^3+6\left[1^2+3^2+5^2+\cdots +\left(2n-3\right)^2+\left(2n-1\right)^2\right]+12\left[1+3+5+\cdots +\left(2n-3\right)+\left(2n-1\right)\right]+n\cdot 8[/dispmath][dispmath]\left(2n+1\right)^3=1+6S+12\left[1+3+5+\cdots +\left(2n-3\right)+\left(2n-1\right)\right]+8n[/dispmath]
Sumu
[dispmath]1+3+5+\cdots +\left(2n-3\right)+\left(2n-1\right)[/dispmath]
izračunali smo u ovom zadatku i dobili da ona iznosi [inlmath]n^2[/inlmath]. Prema tome,
[dispmath]\left(2n+1\right)^3=1+6S+12n^2+8n[/dispmath][dispmath]8n^3+12n^2+6n+1=1+6S+12n^2+8n[/dispmath][dispmath]6S=8n^3-2n\quad /:2[/dispmath][dispmath]3S=4n^3-n[/dispmath][dispmath]S=\frac{n\left(4n^2-1\right)}{3}[/dispmath]

Dobro veče. Au, al' smo nešto zvanični večeras!

Hahahah =)))

E, sve mi je jasno osim dve stvari:

1) Otkud ti je palo na pamet da uzmes kub binoma? o.O

2) Da li ovde
[dispmath]\left(2n+1\right)^3=1^3+6\left[1^2+3^2+5^2+\cdots +\left(2n-3\right)^2+\left(2n-1\right)^2\right]+\\
+12\left[1+3+5+\cdots +\left(2n-3\right)+\left(2n-1\right)\right]+n\cdot 8[/dispmath]
treba da bude [inlmath]1^3[/inlmath] ili [inlmath]n^3[/inlmath] odmah posle znaka jednakosti?

Ahaaa, ono pod 2 sam razumeo ))
Sad mi je potpuno sve jasno, osim pitanja pod 1)

Dobro veče!
http://www.youtube.com/watch?v=H-44w1s8xag#t=2

1) Otkud ti je palo na pamet da uzmes kub binoma? o.O

Hahaha, kakva „zbun-faca“

Ne brini ništa, teško da bi mi taj način i pao na pamet, nego se setih da smo jednom davno u školi radili taj zadatak. Zapravo, ne baš taj, ali sličan, mi smo imali slučaj da je trebalo izračunati sumu
[dispmath]S=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2[/dispmath] Kod tog zadatka smo koristili [inlmath](n+1)^3[/inlmath] kako bismo došli do rešenja (eto, ako te interesuje, možeš, radi vežbe, pokušati da izračunaš i tu sumu na taj način, treba da se dobije [inlmath]S=\frac{n}{6}(n+1)(2n+1)[/inlmath]). Kod ove tvoje sume je razlika u tome što se ona sastoji od kvadrata samo neparnih brojeva. Isprva sam bio pokušao da je izračunam isto uz pomoć [inlmath](n+1)^3[/inlmath], video sam ne ide, pa mi je nekako bilo logično da će ići sa [inlmath](n+2)^3[/inlmath] jer će upravo taj izraz dovesti do svih ovih skraćivanja. I, zaista, to je bila „dobitna kombinacija“.
Znači, potrebno je da imaš rutinu kako bi mogao da, bez pisanja, vidiš po nekoliko koraka unapred (kao npr. u partiji šaha) koje bi formule, kad se primene, mogle dovesti do kojih rezultata (u ovom slučaju do kojih skraćivanja), a ta rutina se stiče jedino sa što više provežbanih zadataka. A neki od tih provežbanih zadataka su čak i neophodni da bi mogao znati kako da radiš zadatke slične vrste, jer s ovim zadatkom što si postavio, kô što rekoh, ne bih umeo da mrdnem da nismo tada u školi uradili taj koji je sličan...

Eto, ako te zanima da se igraš (ne znam koliko imaš slobodnog vremena), možeš pokušati da rešiš i ovo:
[dispmath]S=1^2+4^2+7^2+10^2+\cdots+(3n-5)^2+(3n-2)^2[/dispmath] Najvažnije je da uočiš koji ćeš ovde binom iskoristiti da ga digneš na kub i razviješ. Treba na kraju da se dobije rezultat
[dispmath]S=\frac{n}{2}\left(6n^2-3n-1\right)[/dispmath]