MATEMANIJA

Zanima me na koji nacin se moze pokazati da su zadati brojevi clanovi aritmetickog ili geometrijskog niza (naravno, dati brojevi nisu uzastopni i ne zna se koji su po redu)?

Za sve zadate brojeve, ukoliko su racionalni, može se pokazati da pripadaju bar jednom aritmetičkom nizu.
Taj jedan aritmetički niz bio bi onaj kojem je prvi član jednak najmanjem od zadatih brojeva, a čija je razlika jednaka [inlmath]d=\frac{1}{p}[/inlmath], gde je [inlmath]p[/inlmath] najmanji zajednički sadržalac svih imenilaca zadatih brojeva.

Što se tiče geometrijskog niza, tu je priča drugačija (i složenija). Da li imaš konkretne vrednosti zadatih brojeva?

Konkretno, zadatak glasi:

Brojevi [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]\sqrt6[/inlmath] i [inlmath]\frac{9}{2}[/inlmath] su clanovi: geometrijske progresije (resenje).

Poznat mi je ovaj zadatak i mislim da je sa ETF-a u Beogradu.

ETF BG 2003. 20.

Ako [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]\sqrt6[/inlmath] i [inlmath]\frac{9}{2}[/inlmath] pripadaju geometrijskoj progresiji čiji je količnik [inlmath]q[/inlmath], tada odnos svaka dva od tih brojeva mora biti celobrojni stepen broja [inlmath]q[/inlmath]:
[dispmath]\frac{\sqrt6}{2}=q^m,\quad\frac{\frac{9}{2}}{\sqrt6}=\frac{3\sqrt6}{4}=q^n\quad\left(m,n\in\mathbb{N}\right)[/dispmath]
Sad digni prvu jedačinu na [inlmath]n[/inlmath], drugu jednačinu na [inlmath]m[/inlmath], izjednači [inlmath]q^{mn}[/inlmath] i [inlmath]q^{mn}[/inlmath] i dobićeš
[dispmath]\left(\frac{\sqrt6}{2}\right)^n=\left(\frac{3\sqrt6}{4}\right)^m[/dispmath]
Uočavaš li šta se odatle može zaključiti o odnosu brojeva [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath]?

Ako pretpostavimo da su prva dva broja clanovi geometrijske progresije (prvi i drugi clan) mozemo lako pokazati da je i treci broj clan te iste progresije.

Zakljucuje se da je [inlmath]n=3m[/inlmath]. E sad posto je zadatak sa ponudjenim odgovorima, je l' bi ovde morao da se ispituje svaki odgovor ili je ocigledno da je geometrijska progresija?

Svakako, i dalje mi je nejasno, ali dobro.

Pa, nemoj tako, razjasnićemo šta god nije jasno.

Jeste, dobije se da je [inlmath]n=3m[/inlmath]. E sad, štos je u ovoj rečenici:

Daniel je napisao:Ako [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]\sqrt6[/inlmath] i [inlmath]\frac{9}{2}[/inlmath] pripadaju geometrijskoj progresiji čiji je količnik [inlmath]q[/inlmath], tada odnos svaka dva od tih brojeva mora biti celobrojni stepen broja [inlmath]q[/inlmath]:

Znači, kako bismo dokazali da to jeste geometrijski niz, trebalo je dokazati da postoje prirodni brojevi [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] takvi da važi
[dispmath]\frac{\sqrt6}{2}=q^m,\quad\frac{3\sqrt6}{4}=q^n[/dispmath]
a upravo smo, dobivši [inlmath]n=3m[/inlmath], dokazali da takvi prirodni brojevi postoje, jer, ako za [inlmath]m[/inlmath] uzmemo bilo koji prirodan broj, tada će i [inlmath]n[/inlmath] biti prirodan broj (triput veći).

Evo i primera kojima ovo možemo proveriti.

Primer 1: [inlmath]\underline{m=1,\;n=3}[/inlmath]:
(što znači da važi [inlmath]a_k=2,\;a_{k+1}=\sqrt6,\;a_{k+4}=\frac{9}{2}[/inlmath])
[inlmath]\frac{\sqrt6}{2}=q^m=q[/inlmath]
Znači, količnik geometrijskog niza je [inlmath]q=\frac{\sqrt6}{2}[/inlmath]
[inlmath]\sqrt6\cdot q^n=\sqrt6\cdot q^3=\sqrt6\cdot\left(\frac{\sqrt6}{2}\right)^3=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}[/inlmath]

Primer 2: [inlmath]\underline{m=2,\;n=6}[/inlmath]:
(što znači da važi [inlmath]a_k=2,\;a_{k+2}=\sqrt6,\;a_{k+8}=\frac{9}{2}[/inlmath])
[inlmath]\frac{\sqrt6}{2}=q^m=q^2[/inlmath]
Znači, količnik geometrijskog niza je [inlmath]q=\sqrt{\frac{\sqrt6}{2}}[/inlmath]
[inlmath]\sqrt6\cdot q^n=\sqrt6\cdot q^6=\sqrt6\cdot\left(\sqrt{\frac{\sqrt6}{2}}\right)^6=\sqrt6\cdot\left(\frac{\sqrt6}{2}\right)^3=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}[/inlmath]

itd...

E sad, ne znam koji odgovori su ponuđeni, ali sad je sasvim lako videti koji od njih se uklapaju u ova rešenja... Možda da napišeš te odgovore, pa da vidimo?

Odgovori su:

A) opadajuce aritmeticke progresije
B) rastuce aritmeticke progresije
C) geometrijske progresije
D) niza sa opstim clanom [inlmath]a_n=\frac{9n}{2}+\frac{1}{n},\;(n=1,2,\ldots)[/inlmath]
E) niza sa opstim clanom [inlmath]a_n=\frac{2+\sqrt6}{n}-1,\;(n=1,2,\ldots)[/inlmath]
N) Ne znam.

Može vrlo lako i običnim sistemom eliminacije.

Ilija je napisao:A) opadajuce aritmeticke progresije

Ovo svakako ne može biti tačno, budući da je [inlmath]2<\sqrt6[/inlmath] (ili [inlmath]2<\frac{9}{2}[/inlmath] ili [inlmath]\sqrt6<\frac{9}{2}[/inlmath], dovoljno je bilo šta od toga da uočimo).

Ilija je napisao:B) rastuce aritmeticke progresije

Ako smo kod rastuće aritmetičke progresije prvo imali član u kome ne figuriše iracionalni činilac [inlmath]\sqrt6[/inlmath], pa se posle taj iracinalan činilac pojavi, to znači da [inlmath]\sqrt6[/inlmath] figuriše u razlici te progresije, i to s pozitivnim predznakom, što znači da svi naredni članovi niza moraju u sebi sadržati taj iracionalni član.

Ilija je napisao:D) niza sa opstim clanom [inlmath]a_n=\frac{9n}{2}+\frac{1}{n},\;(n=1,2,\ldots)[/inlmath]

Nigde u ovom izrazu za član niza ne figuriše [inlmath]\sqrt6[/inlmath], a pošto je [inlmath]n[/inlmath] prirodan broj, ni za jedno [inlmath]n[/inlmath] ne bismo mogli dobiti vrednost ovog izraza u kojoj bi figurisalo [inlmath]\sqrt6[/inlmath].

Ilija je napisao:E) niza sa opstim clanom [inlmath]a_n=\frac{2+\sqrt6}{n}-1,\;(n=1,2,\ldots)[/inlmath]

Proverimo da li postoji neko [inlmath]n[/inlmath] za koje bismo mogli dobiti [inlmath]a_n=2[/inlmath] (ili [inlmath]a_n=\sqrt6[/inlmath], ili [inlmath]a_n=\frac{9}{2}[/inlmath]). Postavimo jednačinu:
[dispmath]\left.\frac{2+\sqrt6}{n}-1=2\quad\right/\cdot n\\
\vdots[/dispmath]
Dobije se da jednačina nema rešenja ni u skupu racionalnih, a kamoli u skupu prirodnih brojeva.

(Iracionalno rešenje bismo dobili i da smo izjednačili sa [inlmath]\sqrt6[/inlmath], odnosno sa [inlmath]\frac{9}{2}[/inlmath] – naravno, dovoljno je samo za jednu od tih vrednosti pokazati da se ne dobije prirodan broj kao rešenje.)

Ilija je napisao:N) Ne znam.

I ovo, naravno, eliminišemo, budući da smo pokazali da odgovor znamo.