MATEMANIJA

Prijemni ispit ETF – 1. jul 2003.
18. zadatak

Izracunati zbir:
[dispmath]1+11+111+\cdots+\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}[/dispmath] Vidim ja da svaki sledeci sabirak ima jednu jedinicu vise, a da ce poslednji da ima [inlmath]n[/inlmath] jedinica, ali ne znam kako tu pravilnost da zapisem.

Resenje je [inlmath]\frac{1}{81}\left(10^{n+1}-10-9n\right)[/inlmath].

Zadatu sumu obeleži sa [inlmath]S[/inlmath]:
[dispmath]S=1+11+111+\cdots+\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}[/dispmath] Zatim napiši kako bi izgledala suma [inlmath]10S[/inlmath], a nakon toga svakom sabirku te nove sume dodaj jedinicu, čime ćeš dobiti novu sumu, [inlmath]10S+n[/inlmath] (jer si ukupno dodao [inlmath]n[/inlmath] jedinica).
Potom, od sume [inlmath]10S+n[/inlmath] oduzmi sumu [inlmath]S[/inlmath] i pokratiće se sve, osim prvog sabirka sume [inlmath]S[/inlmath] i poslednjeg sabirka sume [inlmath]10S+n[/inlmath].

Broj [inlmath]\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}[/inlmath] možeš napisati kao [inlmath]10^{n-1}+10^{n-2}+\cdots+10^2+10^1+10^0[/inlmath], a to je suma geometrijske progresije čiji je početni član [inlmath]1[/inlmath], a količnik [inlmath]10[/inlmath]...

[dispmath]1=\frac{10^1-1}{9}\\
11=\frac{10^2-1}{9}\\
111=\frac{10^3-1}{9}\\
\vdots\\
\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}=\frac{10^n-1}{9}[/dispmath] Ovo je moja ideja.

Daniel je napisao:Zatim napiši kako bi izgledala suma [inlmath]10S[/inlmath]

[dispmath]10S=10+110+1110+\cdots+11\ldots10[/dispmath]

Daniel je napisao:nakon toga svakom sabirku te nove sume dodaj jedinicu

[dispmath]10S+n=11+111+1111+\cdots+\underbrace{11\ldots11}_{n+1\text{ jedinica}}[/dispmath]

Daniel je napisao:Potom, od sume [inlmath]10S+n[/inlmath] oduzmi sumu [inlmath]S[/inlmath]

[dispmath]10S+n-S=(11+111+1111+\cdots+\underbrace{11\ldots11}_{n+1\text{ jedinica}})-(1+11+111+\cdots+\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}})=11\ldots1-1[/dispmath] I sad je to: [inlmath]11\ldots1-1=\frac{10^n-1}{9}-1[/inlmath].

Je l' dobro? Je l' sad samo ovo da oduzmem?

Sve ti je u redu do pred sâm kraj, ali onda na kraju treba da ti ostane
[dispmath]10S+n-S=\underbrace{11\ldots1}_{n{\color{red}+1}\text{ jedinica}}-1[/dispmath] to jest
[dispmath]10S+n-S=\frac{10^{n{\color{red}+1}}-1}{9}-1[/dispmath] I sad samo odatle izraziš [inlmath]S[/inlmath]...

Da, fejlovao sam taj poslednji deo.

I da zapisem:
[dispmath]10S+n-S=\frac{10^{n+1}-1}{9}-1\\
9S=\frac{10^{n+1}-1}{9}-1-n\\
S=\frac{\frac{10^{n+1}-1}{9}-1-n}{9}\\
S=\frac{\frac{10^{n+1}-10-9n}{9}}{\frac{9}{1}}\\
\enclose{box}{S=\frac{1}{81}\left(10^{n+1}-10-9n\right)}[/dispmath]

Samo, ono sto me jos zanima, a ako je @Daniel rad da odgovori, kako dodje na ideju za ovakav postupak? Svakako je pocetna ideja moj najveci problem kod ovih zadataka?

Svaki broj zapises kao [inlmath]1+10+100+1000+\cdots[/inlmath]

Ilija je napisao:Samo, ono sto me jos zanima, a ako je @Daniel rad da odgovori, kako dodje na ideju za ovakav postupak? Svakako je pocetna ideja moj najveci problem kod ovih zadataka?

Čim sam video niz, javilo mi se da bi se mogao primeniti sličan metod kao kod izvođenja formule za sumu geometrijskog niza.

Mada, preporučujem ti da pokušaš i na način koji je bobanex predložio.

@bobanex - ideja

Znaci ako je:
[dispmath]1=\frac{10^1-1}{9}\\
11=\frac{10^2-1}{9}\\
111=\frac{10^3-1}{9}\\
\vdots\\
\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}=\frac{10^n-1}{9}[/dispmath] onda je [inlmath]S=1+11+111+\cdots+\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}[/inlmath] jednako:
[dispmath]S=\frac{1}{9}\left(10^1-1+10^2-1+10^3-1+\cdots+10^n-1\right)\\
S=\frac{1}{9}\left(10^1+10^2+10^3+\cdots+10^n-n\right)\\
S=\frac{1}{9}\left(\frac{10\cdot10^n-10}{9}-n\right)\\
S=\frac{1}{9}\left(\frac{10^{n+1}-10-9n}{9}\right)\\
\enclose{box}{S=\frac{1}{81}\left(10^{n+1}-10-9n\right)}[/dispmath]