MATEMANIJA

Prijemni ispit ETF – 1. jul 2003.
18. zadatak

Izracunati zbir:
[dispmath]1+11+111+\cdots+\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}[/dispmath] Vidim ja da svaki sledeci sabirak ima jednu jedinicu vise, a da ce poslednji da ima [inlmath]n[/inlmath] jedinica, ali ne znam kako tu pravilnost da zapisem.

Resenje je [inlmath]\frac{1}{81}\left(10^{n+1}-10-9n\right)[/inlmath].

Zadatu sumu obeleži sa [inlmath]S[/inlmath]:
[dispmath]S=1+11+111+\cdots+\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}[/dispmath] Zatim napiši kako bi izgledala suma [inlmath]10S[/inlmath], a nakon toga svakom sabirku te nove sume dodaj jedinicu, čime ćeš dobiti novu sumu, [inlmath]10S+n[/inlmath] (jer si ukupno dodao [inlmath]n[/inlmath] jedinica).
Potom, od sume [inlmath]10S+n[/inlmath] oduzmi sumu [inlmath]S[/inlmath] i pokratiće se sve, osim prvog sabirka sume [inlmath]S[/inlmath] i poslednjeg sabirka sume [inlmath]10S+n[/inlmath].

Broj [inlmath]\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}[/inlmath] možeš napisati kao [inlmath]10^{n-1}+10^{n-2}+\cdots+10^2+10^1+10^0[/inlmath], a to je suma geometrijske progresije čiji je početni član [inlmath]1[/inlmath], a količnik [inlmath]10[/inlmath]...

[dispmath]1=\frac{10^1-1}{9}\\
11=\frac{10^2-1}{9}\\
111=\frac{10^3-1}{9}\\
\vdots\\
\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}=\frac{10^n-1}{9}[/dispmath] Ovo je moja ideja.

Daniel je napisao:Zatim napiši kako bi izgledala suma [inlmath]10S[/inlmath]

[dispmath]10S=10+110+1110+\cdots+11\ldots10[/dispmath]

Daniel je napisao:nakon toga svakom sabirku te nove sume dodaj jedinicu

[dispmath]10S+n=11+111+1111+\cdots+\underbrace{11\ldots11}_{n+1\text{ jedinica}}[/dispmath]

Daniel je napisao:Potom, od sume [inlmath]10S+n[/inlmath] oduzmi sumu [inlmath]S[/inlmath]

[dispmath]10S+n-S=(11+111+1111+\cdots+\underbrace{11\ldots11}_{n+1\text{ jedinica}})-(1+11+111+\cdots+\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}})=11\ldots1-1[/dispmath] I sad je to: [inlmath]11\ldots1-1=\frac{10^n-1}{9}-1[/inlmath].

Je l' dobro? Je l' sad samo ovo da oduzmem?

Sve ti je u redu do pred sâm kraj, ali onda na kraju treba da ti ostane
[dispmath]10S+n-S=\underbrace{11\ldots1}_{n{\color{red}+1}\text{ jedinica}}-1[/dispmath] to jest
[dispmath]10S+n-S=\frac{10^{n{\color{red}+1}}-1}{9}-1[/dispmath] I sad samo odatle izraziš [inlmath]S[/inlmath]...

Da, fejlovao sam taj poslednji deo.

I da zapisem:
[dispmath]10S+n-S=\frac{10^{n+1}-1}{9}-1\\
9S=\frac{10^{n+1}-1}{9}-1-n\\
S=\frac{\frac{10^{n+1}-1}{9}-1-n}{9}\\
S=\frac{\frac{10^{n+1}-10-9n}{9}}{\frac{9}{1}}\\
\enclose{box}{S=\frac{1}{81}\left(10^{n+1}-10-9n\right)}[/dispmath]

Samo, ono sto me jos zanima, a ako je @Daniel rad da odgovori, kako dodje na ideju za ovakav postupak? Svakako je pocetna ideja moj najveci problem kod ovih zadataka?

Svaki broj zapises kao [inlmath]1+10+100+1000+\cdots[/inlmath]

Ilija je napisao:Samo, ono sto me jos zanima, a ako je @Daniel rad da odgovori, kako dodje na ideju za ovakav postupak? Svakako je pocetna ideja moj najveci problem kod ovih zadataka?

Čim sam video niz, javilo mi se da bi se mogao primeniti sličan metod kao kod izvođenja formule za sumu geometrijskog niza.

Mada, preporučujem ti da pokušaš i na način koji je bobanex predložio.

@bobanex - ideja

Znaci ako je:
[dispmath]1=\frac{10^1-1}{9}\\
11=\frac{10^2-1}{9}\\
111=\frac{10^3-1}{9}\\
\vdots\\
\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}=\frac{10^n-1}{9}[/dispmath] onda je [inlmath]S=1+11+111+\cdots+\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ jedinica}}[/inlmath] jednako:
[dispmath]S=\frac{1}{9}\left(10^1-1+10^2-1+10^3-1+\cdots+10^n-1\right)\\
S=\frac{1}{9}\left(10^1+10^2+10^3+\cdots+10^n-n\right)\\
S=\frac{1}{9}\left(\frac{10\cdot10^n-10}{9}-n\right)\\
S=\frac{1}{9}\left(\frac{10^{n+1}-10-9n}{9}\right)\\
\enclose{box}{S=\frac{1}{81}\left(10^{n+1}-10-9n\right)}[/dispmath]

Zadatak je jako interesantan.
Naravno da su i Danielova i bobanexova ideja super, uostalom zadatak je i rešen.
Drugo nešto me je zainteresovalo.
Računao sam sve vrednosti traženog zbira (i programski i po dokazanoj formuli) za [inlmath]n\le15[/inlmath].
Evo šta sam dobio:

n zbir
1 1
2 12
3 123
4 1234
5 12345
6 123456
7 1234567
8 12345678
9 123456789
10 1234567900
11 12345679011
12 123456790122
13 1234567901233
14 12345679012344
15 123456790123455

Jasno je kao dan ovo do [inlmath]n=9[/inlmath]. Dovoljno je zamisliti pešačko sabiranje s potpisivanjem.
Ali onda nestaje cifra [inlmath]8[/inlmath]. U rezultatu, za svako [inlmath]n\ge10[/inlmath].
Tvrdim da to nije slučajno.
Štaviše, mislim da je neće nikada ni biti. Cifre [inlmath]8[/inlmath] za [inlmath]n\ge10[/inlmath].
da li sam u pravu

I još nešto. Pokušavam da dokažem da će za svako [inlmath]n\ge10[/inlmath] prvih osam cifara traženog zbira biti [inlmath]12345679[/inlmath] .
I da osmice nema. Ni u ovom podnizu cifara, ni u nastavku.

Možda će lakše biti ako brojeve prikažeš poravnato uz desnu ivicu, ovako:
[dispmath]\begin{array}{rr}
1 & 1\\
2 & 12\\
3 & 123\\
4 & 1234\\
5 & 12345\\
6 & 123456\\
7 & 1234567\\
8 & 12345678\\
9 & 123456789\\
10 & 1234567900\\
11 & 12345679011\\
12 & 123456790122\\
13 & 1234567901233\\
14 & 12345679012344\\
15 & 123456790123455
\end{array}[/dispmath] Da osmice neće biti u levom podnizu cifara, to si verovatno u pravu (nisam se još bavio dokazom), ali će je sigurno biti u nastavku. I to već za [inlmath]n=18[/inlmath]. Štaviše, osmica će biti na poslednjem mestu uvek kada se [inlmath]n[/inlmath] završava osmicom (jer se poslednja cifra zbira dobija sabiranjem jedinica [inlmath]n[/inlmath] puta, pri čemu će ta poslednja cifra biti [inlmath]n\bmod10[/inlmath]. Primer: [inlmath]n=3748[/inlmath], pa je [inlmath]n\bmod10=3748\bmod10=8[/inlmath], tj. poslednja cifra je [inlmath]8[/inlmath].

Opet ja, nadam se da ne dosađujem ovim. Ali pogledajte, ako ikoga zanima:
Za [inlmath]n=16[/inlmath] dobijem zbir [inlmath]1234567901234566[/inlmath].
Ovo me podseti na "look and say" zadatke kojima smo se bavili. Zanima me samo pravilnost kada dođemo do dve devetke na kraju, koji je sledeći broj?
Ako preterujem sa širenjem teme, samo kažite

I da, Daniel, u pravu si za osmicu na kraju, mora ih i dve biti po ovom pravilu za [inlmath]n=18[/inlmath].

Kako si to dobio? Za [inlmath]n=20[/inlmath] ja dobijem jedinicu i nulu na kraju.
Poslednja cifra je jednaka [inlmath]n\bmod10[/inlmath], a pretposlednja cifra je jednaka [inlmath]\left(n-1+\lfloor\frac{n}{10}\rfloor\right)\bmod10[/inlmath].

Obrisah post, pogrešio sam, ručno sam radio. Tačno je:

Daniel je napisao:Za [inlmath]n=20[/inlmath] ja dobijem jedinicu i nulu na kraju.

Ali tvoje poravnavanje uz desnu ivicu je sjajno, po vertikalama se uočava pravilnost.