Zdravo, u ovom zadatku treba da pokazem konvergenciju niza, pa imam jedno pitanje vezano za monotonost:
Ovako glasi zadatak:
[dispmath]f_{n+1}=\frac{1}{m}\left((m-1)\cdot f_n+\frac{b}{f_n^{m-1}}\right)[/dispmath]
[dispmath]f_1\not=0[/dispmath]
[dispmath]b>0[/dispmath]
[dispmath]m\in\mathbb{N}[/dispmath]
[dispmath]n>2[/dispmath]
Sad se u jednacini
[dispmath]f_{n+1}=\frac{1}{m}\left((m-1)\cdot f_n+\frac{b}{f_n^{m-1}}\right)[/dispmath]
Oduzme [inlmath]f_n[/inlmath] i sa jedne i sa druge strane:
[dispmath]f_{n+1}-f_n=\frac{1}{m}\left(mf_n-f_n+\frac{b}{f_n^{m-1}}\right)-f_n=f_n-\frac{f_n}{m}+\frac{b}{m\cdot f_n^{m-1}}-f_n[/dispmath]
[inlmath]f_n[/inlmath] i [inlmath]-f_n[/inlmath] se skrate
[dispmath]\frac{b}{m\cdot f_n^{m-1}}-\frac{f_n}{m}=\frac{b+f_n\cdot f_n^{m-1}}{m\cdot f_n^{m-1}}[/dispmath]
Kako je
[dispmath]f_n\cdot f_n^{m-1}=f_n^m[/dispmath]
Dobija se kao konacan rezultat:
[dispmath]\frac{b-f_n^m}{m\cdot f_n^{m-1}}[/dispmath]
E sad od brojioca i imenioca zavisi da li ce razlika izmedju
[dispmath]f_{n+1}\quad\mbox{i}\quad f_n[/dispmath]
biti [inlmath]>0[/inlmath], [inlmath]<0[/inlmath] ili jednaka nuli.
U resenjima pise da je (manje-jednako) od nule resenje, ali ne znam kako su to zakljucili :/
Valjda ste me razumeli.