MATEMANIJA

Pozdrav. Imam problem sa jednim zadatkom:
[inlmath]x_0\in(0,1)[/inlmath]
[inlmath]x_{n+1}=x_n-x_n^3[/inlmath]
Rešenje je [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], ali ja dobijam [inlmath]0[/inlmath] (konkretno u koraku pretpostavke da limes postoji:
[inlmath]x=x-x^3[/inlmath]
[inlmath]x^3=0[/inlmath]
Hvala unapred

Dobro ti je rešenje, treba da se dobije nula (a proverio sam čak i softverski).
Evo, pretpostavi da je neki član niza [inlmath]x_n[/inlmath] dostigao [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]. Koliki će biti sledeći član niza, [inlmath]x_{n+1}[/inlmath]? Biće [inlmath]x_{n+1}=x_n-x_n^3=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}[/inlmath]. Prema tome, [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] nije granična vrednost.
Isto možeš pokazati i ako uzmeš da je [inlmath]x_n[/inlmath] dostigao neku vrednost vrlo blisku [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{1}{2}+\varepsilon[/inlmath] ili [inlmath]\frac{1}{2}-\varepsilon[/inlmath], gde je [inlmath]\varepsilon[/inlmath] neki pozitivan broj vrlo blizak nuli.

Inače, da limes postoji lako se dokazuje indukcijom (pošto za svaki član niza koji pripada intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath] važi da će sledeći član biti manji od njega a takođe biti veći od nule, iz čega sledi da je niz monotono opadajući i ograničen odozdo).

Korigovao sam ti Latex – za znak [inlmath]\in[/inlmath] se koristi oznaka \in, a ne \epsilon.

Hvala puno na takvom odgovoru