MATEMANIJA

Pozdrav svima. Zeleo bih da uradim sledeci konfuzni zadatak:
Ispitati da li dati niz konvergira, i ako je odgovor potvrdan, ka kojoj vrednosti:
[dispmath]\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\frac{1}{n^2+3}+\cdots+\frac{1}{2n^2}=x_n[/dispmath] Ono sto sam ja ustanovio, to je da je dati niz ogranicen (ocigledno je izmedju [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]). Da bih dokazao da i konvergira, treba da pokazem monotonost, ali se upravo tu nalazi problem, jer se ovi '[inlmath]n[/inlmath]-ovi' javljaju u svakom pojedinacnom clanu, i to u imeniocu.
Drugo, pokusao sam da primenim integralnu sumu na interval [inlmath][0,1][/inlmath], odnosno:
[dispmath]\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\frac{1}{n^2+3}+\cdots+\frac{1}{2n^2}=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}\cdot\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n^2}}+\cdots+\frac{1}{2}\right)[/dispmath] Izraz u zagradi je Riemann-ova suma funkcije
[dispmath]f(x)=\frac{1}{1+x^2}[/dispmath] za izbor istaknutih tacaka
[dispmath]ξ_i=\frac{\sqrt i}{n}[/dispmath] Sada je
[dispmath]\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm dx=\frac{1}{n}\cdot\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n^2}}+\cdots+\frac{1}{2}\right)[/dispmath] Dati integral je tablicni, i kad se on sracuna, rezultat je
[dispmath]\text{arctg }1=\frac{\pi}{4}[/dispmath] Kad se to ponovo podeli sa preostalim [inlmath]n[/inlmath] (koje tezi beskonacnosti), dobija se nula .
Pokusao sam da dokazem i da je Cauchy-jev (niz konvergira akko je Cauchy-jev), ali mi se ponovo javlja isti problem (sto imam [inlmath]n[/inlmath] u svakom clanu niza i to u imeniocu). Izvinjavam se zbog mozda sturog teksta, ali novi sam pa tako to ide... Ako neko zna zadatak, bio bih mu zahvalan...

miloskal0108997 je napisao:Izvinjavam se zbog mozda sturog teksta, ali novi sam pa tako to ide... Ako neko zna zadatak, bio bih mu zahvalan...

Sve OK, sasvim lepo postavljeno pitanje, doduše uneo sam neke korekcije u Latex (\cdot umesto * i slično), ali uhodaćeš se s vremenom.

Ideja s Riemannovom sumom funkcije je odlična, i ona (kad se pravilno primeni) vodi do tačnog rešenja, koje iznosi [inlmath]\ln2[/inlmath]. Ono što si prevideo, to je da u ovoj podeli nemamo [inlmath]n[/inlmath] podintervala, već ih imamo [inlmath]n^2[/inlmath] (jer u članu niza [inlmath]x_n[/inlmath] imamo [inlmath]n^2[/inlmath] sabiraka), što znači i da istaknute tačke neće biti [inlmath]ξ_i=\frac{\sqrt i}{n}[/inlmath] već [inlmath]ξ_i=\frac{i}{n^2}[/inlmath], kao i da funkcija za koju tražimo Riemannovu sumu neće biti [inlmath]f(x)=\frac{1}{1+x^2}[/inlmath], već [inlmath]f(x)=\frac{1}{1+x}[/inlmath].
Takođe, neće biti ni

miloskal0108997 je napisao:[dispmath]\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm dx=\frac{1}{n}\cdot\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n^2}}+\cdots+\frac{1}{2}\right)[/dispmath]

već će biti
[dispmath]\int\limits_0^1\frac{1}{1+x}\,\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\cdot\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n^2}}+\cdots+\frac{1}{2}\right)[/dispmath] (Osim što sam na desnu stranu dodao limes, uoči i da ispred zagrade nemamo [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] već [inlmath]\frac{1}{n^2}[/inlmath], jer rastojanje između dve susedne istaknute tačke iznosi upravo [inlmath]\frac{1}{n^2}[/inlmath].)

Hvala na brzom odgovoru. Inace, zadatak sam pokusao da uradim prosle godine, bez predstave o integralima. Sada, kad smo uradili par primera na faxu, znao sam da ce integral resiti enigmu, ali eto, vidis, nisam obratio dovoljno paznje na 'intervalcice'. Zanimljivo je da se i nizovi
[dispmath]x_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n}[/dispmath] i, recimo
[dispmath]y_n=\frac{1}{n^4+1}+\frac{1}{n^4+2}+\cdots+\frac{1}{2n^4}[/dispmath] svode na istu integralnu sumu i imaju isti rezultat (jer ce se prvi podeliti na [inlmath]n[/inlmath] segmenata, a drugi na [inlmath]n^4[/inlmath], ali ce oba imati istu podintegralnu funkciju):
[dispmath]f(x)=\frac{1}{1+x}[/dispmath] koju cemo posmatrati na [inlmath][0,1][/inlmath]. Pozdrav