MATEMANIJA

Pozdrav svima..
Ovako, trazi se da se izracuna suma:
[inlmath]a)\quad S=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\\
b)\quad S=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3[/inlmath]
Resenje:
[inlmath]a)[/inlmath] Trazena suma se dobija ako se u identitetu [inlmath]3x^2+3x+1=(x+1)^3-x^3[/inlmath] zameni redom [inlmath]x=1,2,3,\cdots,n[/inlmath] i dobijene jednakosti sumiraju:
[dispmath]3\left(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\right)+3(1+2+3+\cdots+n)+n=(n+1)^3-1[/dispmath] gde su [inlmath]S_1[/inlmath] i [inlmath]S_2[/inlmath] suma [inlmath]n[/inlmath] brojeva prirodnog niza i suma njihovih kvadrata
Zamenom [inlmath]\displaystyle S_1=\frac{n(n+1)}{2}[/inlmath] u poslednju jednakost dobija se [inlmath]\displaystyle S_2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/inlmath]
[inlmath]b)[/inlmath] Da bismo nasli sumu kubova prvih [inlmath]n[/inlmath] brojeva prirodnog niza,treba zameniti u identitetu:
[dispmath]4x^3+6x^2+4x+1=(x+1)^4-x^4,\quad x=1,2,3,\ldots,n[/dispmath] Ako se sumiraju dobijene jednakosti sledi da je [inlmath]4S_3+6S_2+4S_1+n=(n+1)^4-1[/inlmath]
Zamenom [inlmath]\displaystyle S_1=\frac{n(n+1)}{2}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle S_2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/inlmath] u poslednju jednakost slijedi da je
[dispmath]S_3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2[/dispmath] Ovo sam resenje komplet napisao da bi i drugi vidjeli kako se resava ovaj zadatak kako bi im pomoglo...
Da li ima neko da zna neki drugi nacin resavanja ovog zadatka da bi podelio sa nama, mozda slozeniji ili laksi nacin jer ko bi se pri resavanju zadatka setio izraza [inlmath]3x^2+3x+1=(x+1)^3-x^3[/inlmath] iako ga svi znamo..
Unapred hvala::::

Jedna napomena što se tiče LaTex-a. Za razlomak se koristi komanda \frac.

Ja ne znam ni za jedan drugi način dolaženja do ovih suma, a mislim da je, u najmanju ruku, kvarno tražiti u zadatku baš to, pogotovo zato što je pitanje ko bi se setio da ovo dokaže na način na koji si ti to napisao. Pitanje je zapravo za koji je ovo nivo, jer ako je fakultetski onda povlačim prethodno napisano.

Napomenuo bih samo da je:
[dispmath]1^3+2^3+\cdots+n^3=\left(1+2+\cdots+n\right)^2[/dispmath] možda nije bilo najočiglednije iz tvog posta da je suma prvih [inlmath]n[/inlmath] kubova prirodnih brojeva zapravo jednaka kvadratu zbira prvih [inlmath]n[/inlmath] prirodnih brojeva.

U zadacima iz teorije brojeva podrazumeva se korišćenje ovih suma kao poznatih. Imali smo jedan takav zadatak ovde (baš sam ga ja postavio). Mislim da bi bilo prikladnije kada bi se tražilo da se dokaže da su te dve sume upravo tome jednake, što se relativno lako pokazuje indukcijom.

Ovaj je zadatak iz srednje skole, bilo bi dobro da se resi na neki drugi nacin npr. preko teorije brojeva sto si pomenuo mada ne znam koliko bi to bilo korisno...

kazinski je napisao:Da li ima neko da zna neki drugi nacin resavanja ovog zadatka da bi podelio sa nama, mozda slozeniji ili laksi nacin jer ko bi se pri resavanju zadatka setio izraza [inlmath]3x^2+3x+1=(x+1)^3-x^3[/inlmath] iako ga svi znamo..

Znam da i nema neke bitne razlike u odnosu na postupak koji si pokazao, ali u ovom postu sam izložio postupak za računanje [inlmath]S_2[/inlmath] koristeći kub binoma, [inlmath]\left(x+1\right)^3=x^3+3x^2+3x+1[/inlmath], to je naravno isto kao i ovo tvoje samo malko drugačije zapisano, al' šta znam, možda je nekome taj oblik identiteta očigledniji pa bi ga se i lakše setio...
Naravno, slično i za [inlmath]S_3[/inlmath].

Corba248 je napisao:Pitanje je zapravo za koji je ovo nivo, jer ako je fakultetski onda povlačim prethodno napisano.

Sećam se da smo u Matematičkoj gimnaziji u 2. razredu radili računanje ove prve sume (zbir kvadrata prvih [inlmath]n[/inlmath] prirodnih brojeva) i računali smo je na način koji sam pokazao u linkovanom postu (dakle, slično načinu koji je kazinski izložio), dok drugu sumu (zbir kubova) nismo pominjali.

---

Razmišljao sam o još nekim načinima za rešavanje. Možda nije sasvim regularno, ali ako bismo krenuli od pretpostavke da suma [inlmath]S=1^2+2^2+\cdots+n^2[/inlmath] predstavlja polinom po [inlmath]n[/inlmath] (što se nekako intuitivno nameće), preostaje da odredimo red i koeficijente tog polinoma.
Napišemo rekurentnu vezu,
[dispmath]S(n)=S(n-1)+n^2[/dispmath] i odmah vidimo da polinom mora biti najmanje drugog reda, kako ovaj sabirak [inlmath]n^2[/inlmath] ne bi ostao „usamljen“ (zbog čega jednakost ne bi bila zadovoljena za svako [inlmath]n[/inlmath]).

Za polinom drugog reda, [inlmath]S(n)=an^2+bn+c[/inlmath]:
[dispmath]an^2+bn+c=a(n-1)^2+b(n-1)+c+n^2\\
{\color{red}\cancel{an^2}}+{\color{blue}\cancel{bn}}+{\color{green}\cancel c}={\color{red}\cancel{an^2}}-2an+a+{\color{blue}\cancel{bn}}-b+{\color{green}\cancel c}+n^2[/dispmath] i imamo „usamljene“ sabirke [inlmath]n^2[/inlmath] i [inlmath]-2an[/inlmath], što znači da jednakost opet neće biti zadovoljana za svako [inlmath]n[/inlmath].

Za polinom trećeg reda, [inlmath]S(n)=an^3+bn^2+cn+d[/inlmath]:
[dispmath]an^3+bn^2+cn+d=a(n-1)^3+b(n-1)^2+c(n-1)+d+n^2\\
{\color{red}\cancel{an^3}}+{\color{blue}\cancel{bn^2}}+{\color{green}\cancel{cn}}+{\color{brown}\cancel d}={\color{red}\cancel{an^3}}-3an^2+3an-a+{\color{blue}\cancel{bn^2}}-2bn+b+{\color{green}\cancel{cn}}-c+{\color{brown}\cancel d}+n^2[/dispmath] odakle sledi (da bi jednakost bila zadovoljena za svako [inlmath]n[/inlmath]):
[dispmath]-3a+1=0\\
3a-2b=0\\
-a+b-c=0[/dispmath] Rešavanjem ovog sistema dobije se [inlmath]a=\frac{1}{3}[/inlmath], [inlmath]b=\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]c=\frac{1}{6}[/inlmath], što znači da je pretpostavljeni polinom oblika
[dispmath]S(n)=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n+d[/dispmath] [inlmath]d[/inlmath] odredimo iz uslova da je [inlmath]S(1)=1^2=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+d[/inlmath], odakle se dobije [inlmath]d=0[/inlmath]. Prema tome, suma je jednaka
[dispmath]S(n)=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n\\
S(n)=\frac{n}{6}\left(2n^2+3n+1\right)\\
\enclose{box}{S(n)=\frac{n}{6}(n+1)(2n+1)}[/dispmath] Na potpuno isti način se može izvesti i izraz za sumu [inlmath]1^3+2^3+\cdots+n^3[/inlmath]. Dobije se da polinom mora biti četvrtog reda, s koeficijentima [inlmath]a=\frac{1}{4}[/inlmath], [inlmath]b=\frac{1}{2}[/inlmath], [inlmath]c=\frac{1}{4}[/inlmath], [inlmath]d=0[/inlmath] i [inlmath]e=0[/inlmath], odakle sledi već pomenuta jednakost [inlmath]\sum\limits_{k=1}^nk^3=\left(\sum\limits_{k=1}^nk\right)^2[/inlmath].