MATEMANIJA

Ako moze pomoc oko ovog zadatka u pitanju je matematika 2 za tehnicki fakultet , dokazati konvergenciju [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0[/inlmath]

Pretpostavljam da treba da piše [inlmath]\lim\limits_{{\color{red}n}\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0[/inlmath].

Pogledaj temu o karakterističnim limesima, 2. limes po redu.

Zamolio bih te da ubuduće obratiš pažnju na tačku 6. Pravilnika.

ok nisam skontao sta znaci propratni komentar

nisam mi palo napamet da trazim neke bitne limese

evo resenja koje ja posedujem

Izaberemo [inlmath]n_0[/inlmath] tako da je [inlmath]\frac{a}{n_0}\le\frac{1}{2}[/inlmath]

tada je [inlmath]\frac{a}{n}<\frac{1}{2}[/inlmath] za [inlmath]n>n_0[/inlmath] i
[dispmath]0<\frac{a^n}{n!}=\frac{a^{n_0}a^{n-n_0}}{n_0!(n_0+1)\cdots n}<\frac{a^{n_0}}{n_0!}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-n_0}[/dispmath] Kako je, na osnovu primera [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0[/inlmath], [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^n_0}{n_0!}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-n_0}=0[/inlmath], a na osnovu teoreme o ukljestenju sledi tvrdjenje

ovako je kod mene u knjizi, meni je ovo malo konfuzno , lakse mi je da ukapiram ovo resenje sto je ovde odradjeno

Hvala što si s nama podelio i ovaj način dokazivanja. Dodaću link u temu o karakterističnim limesima. U dokazu jeste preskočeno nekoliko koraka, možda zbog toga i deluje malo konfuzno. Pokušaću da ga objasnim svojim rečima.
Ne moramo izabrati [inlmath]n_0[/inlmath] tako da [inlmath]\frac{a}{n_0}[/inlmath] nužno bude [inlmath]\le\frac{1}{2}[/inlmath], dovoljno je da [inlmath]\frac{a}{n_0}[/inlmath] bude bilo koji broj između nule i jedinice. Označimo taj broj sa [inlmath]b[/inlmath]. Dakle, biramo [inlmath]n_0[/inlmath] tako da bude [inlmath]\frac{a}{n_0}\le b[/inlmath], gde je [inlmath]b\in(0,1)[/inlmath] (ako nekog zbunjuje ovo uopštenje, može slobodno uzeti da je [inlmath]b=\frac{1}{2}[/inlmath]).
Tada [inlmath]\frac{a^n}{n!}[/inlmath] za [inlmath]n>n_0[/inlmath] možemo napisati kao
[dispmath]0<\frac{a^n}{n!}=\frac{a^{n_0}a^{n-n_0}}{n_0!(n_0+1)(n_0+2)\cdots(n-1)\cdot n}=\frac{a^{n_0}}{n_0!}\cdot\underbrace{\frac{a}{n_0+1}\cdot\frac{a}{n_0+2}\cdots\frac{a}{n-1}\cdot\frac{a}{n}}_{(n-n_0)\text{ činilaca}}[/dispmath] Pošto je [inlmath]\frac{a}{n}<b[/inlmath] za [inlmath]n>n_0[/inlmath], to će svaki od činilaca [inlmath]\frac{a}{n_0+1},\frac{a}{n_0+2},\ldots,\frac{a}{n-1},\frac{a}{n}[/inlmath] biti manji od [inlmath]b[/inlmath]. Zato dalje možemo pisati
[dispmath]0<\frac{a^n}{n!}<\frac{a^{n_0}}{n_0!}\cdot\underbrace{b\cdot b\cdots b\cdot b}_{(n-n_0)\text{ činilaca}}=\frac{a^{n_0}}{n_0!}\cdot b^{n-n_0}[/dispmath] Limes ovog izraza za [inlmath]n\to\infty[/inlmath] biće
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{a^{n_0}}{n_0!}\cdot b^{n-n_0}=\frac{a^{n_0}}{n_0!\cdot b^{n_0}}\lim_{n\to\infty}b^n=0[/dispmath] Zbog toga je bilo bitno [inlmath]b[/inlmath] odabrati tako da bude [inlmath]b\in(0,1)[/inlmath], jer da je [inlmath]b\ge1[/inlmath] tada ne bi bilo [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}b^n=0[/inlmath]. Dakle, mogli smo odabrati da bude [inlmath]b=\frac{1}{2}[/inlmath], ali smo mogli odabrati i da bude [inlmath]b=\frac{1}{3}[/inlmath] ili [inlmath]b=\frac{1}{4}[/inlmath] ili [inlmath]b=\frac{8}{9}[/inlmath] itd., bitno je samo da [inlmath]b[/inlmath] bude između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath].

I na kraju, iz sendvič-teoreme (teorema dva policajca, ili kako si ti napisao teorema u uklještenju), sledi da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0[/inlmath].