Evo jednog zadatka koji ne bi trebao biti dug.
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\cos\left(n\right)!+\ln\frac{n+2}{3n}\right)[/dispmath]

Ovo [inlmath]\cos\left(n\right)![/inlmath] bi, valjda, trebalo da bude [inlmath]\cos\left(n!\right)[/inlmath], ne može se nikako tražiti faktorijel kosinusa, budući da je faktorijel definisan samo nad prirodnim brojevima.
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\cos\left(n!\right)+\ln\frac{n+2}{3n}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{\cos\left(n!\right)}{n}+\lim_{n\to\infty}\ln\frac{n+2}{3n}=[/dispmath]
Prvi sabirak je očigledno nula, jer imamo deljenje veličinom koja je u intervalu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath] beskonačno velikom veličinom, [inlmath]n[/inlmath].
Drugi sabirak se lako rešava:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\ln\frac{n+2}{3n}=\lim_{n\to\infty}\ln\frac{1+\frac{2}{n}}{3}=\ln\frac{1}{3}=\underline{-\ln 3}[/dispmath]

Hvala.

Naučio sam računati sume kada imamo brojnik i nazivnik, ali što u ovom slučaju?
[dispmath]a_n=\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k\left(k+1\right)[/dispmath]

Ovu sumu možemo napisati na sledeći način:
[dispmath]\sum_{k=1}^n k\left(k+1\right)=\sum_{k=1}^n k^2+\sum_{k=1}^n k=S_2+S_1[/dispmath]
Suma [inlmath]S_1[/inlmath] predstavlja sumu aritmetičkog niza i, kao što znamo, iznosi [inlmath]\frac{1}{2}n\left(n+1\right)[/inlmath].
Oko [inlmath]S_2[/inlmath] ima malo više posla. O jednoj sličnoj sumi je bilo govora u ovom postu, ali evo detaljnog postupka i za ovu sumu:

Koristimo formulu za kub binoma
[dispmath]\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/dispmath]
tj. slučaj koji ćemo koristiti pri rešavanju ove sume:
[dispmath]\left(k+1\right)^3=k^3+3k^2+3k+1[/dispmath]
Sada u toj formuli [inlmath]k[/inlmath] zamenjujemo svakim brojem od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath] i te formule sabiramo:
[dispmath]\begin{array}{l}
2^3=1^3+3\cdot 1^2+3\cdot 1+1\\
3^3=2^3+3\cdot 2^2+3\cdot 2+1\\
4^3=3^3+3\cdot 3^2+3\cdot 3+1\\
\vdots\\
n^3=\left(n-1\right)^3+3\left(n-1\right)^2+3\left(n-1\right)+1\\
\left(n+1\right)^3=n^3+3n^2+3n+1
\end{array}[/dispmath]
Kad sve ovo saberemo, vidimo da se na levoj i na desnoj strani krate svi kubovi, osim [inlmath]\left(n+1\right)^3[/inlmath] na levoj i [inlmath]1^3[/inlmath] na desnoj strani:
[dispmath]\left(n+1\right)^3=1^3+3\underbrace{\left[1^2+2^2+3^2+\cdots +\left(n-1\right)^2+n^2\right]}_{S_2}+[/dispmath][dispmath]+3\underbrace{\left[1+2+3+\cdots +\left(n-1\right)+n\right]}_{S_1}+\underbrace{\left(1+1+1+\cdots +1+1\right)}_{n\;\mathrm{jedinica}}[/dispmath][dispmath]\left(n+1\right)^3=1+3S_2+3S_1+n[/dispmath][dispmath]S_2+S_1=\frac{1}{3}\left[\left(n+1\right)^3-n-1\right][/dispmath]
Sada opšti član niza [inlmath]a_n[/inlmath], koji tražimo, postaje:
[dispmath]a_n=\frac{1}{n^3}\left(S_2+S_1\right)=\frac{1}{n^3}\cdot\frac{1}{3}\left[\left(n+1\right)^3-n-1\right]=\frac{1}{3n^3}\left(n^3+3n^2+3n+1-n-1\right)=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{3n^3}\left(n^3+3n^2+2n\right)=\frac{n^2+3n+2}{3n^2}=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3n^2}[/dispmath]

A da nismo rastavljali na dvije sume, nego ostavili [inlmath]\sum k(k+1)[/inlmath], bi li to bilo lakše rastaviti?

Ne pada mi na pamet nijedan način da to uradim bez rastavljanja na dve sume.
Imaš li ti možda ideju?

Nemam.

I zadnja vrsta sume je ova:
[dispmath]\frac{4}{n^4}\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^k\left(2i-1\right)[/dispmath]
Ako možeš još samo za ovo napisati postupak, i to je to što se tiče suma i produkata.

Prvo računamo desnu sumu. Pošto je
[inlmath]a_{i+1}-a_i=\left[2\left(i+1\right)-1\right]-\left(2i-1\right)=2[/inlmath], što predstavlja konstantu, vidimo da se radi o aritmetičkom nizu, pa možemo primeniti formulu za računanje sume aritmetičkog niza od [inlmath]k[/inlmath] članova, kome je prvi član [inlmath]1[/inlmath], a poslednji član [inlmath]2k-1[/inlmath]:
[dispmath]\sum_{i=1}^k\left(2i-1\right)=\frac{k}{2}\left(1+2k-1\right)=k^2[/dispmath]
Zadatak se svodi na
[dispmath]\frac{4}{n^4}\sum_{k=1}^n k^2[/dispmath]
Sad ću, da bismo odredili sumu [inlmath]\sum\limits_{k=1}^n k^2[/inlmath], malo uraditi copy/paste jednog dela ovog posta, jer sam tamo radio nešto vrlo slično, ali ipak na kraju nisam izveo izraz za tačno ovu sumu.

Koristimo formulu za kub binoma
[dispmath]\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/dispmath]
tj. slučaj koji ćemo koristiti pri rešavanju ove sume:
[dispmath]\left(k+1\right)^3=k^3+3k^2+3k+1[/dispmath]
Sada u toj formuli [inlmath]k[/inlmath] zamenjujemo svakim brojem od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath] i te formule sabiramo:
[dispmath]\begin{array}{l}
2^3=1^3+3\cdot 1^2+3\cdot 1+1\\
3^3=2^3+3\cdot 2^2+3\cdot 2+1\\
4^3=3^3+3\cdot 3^2+3\cdot 3+1\\
\vdots\\
n^3=\left(n-1\right)^3+3\left(n-1\right)^2+3\left(n-1\right)+1\\
\left(n+1\right)^3=n^3+3n^2+3n+1
\end{array}[/dispmath]
Kad sve ovo saberemo, vidimo da se na levoj i na desnoj strani krate svi kubovi, osim [inlmath]\left(n+1\right)^3[/inlmath] na levoj i [inlmath]1^3[/inlmath] na desnoj strani:
[dispmath]\left(n+1\right)^3=1^3+3\underbrace{\left[1^2+2^2+3^2+\cdots +\left(n-1\right)^2+n^2\right]}_{S_2}+[/dispmath][dispmath]+3\underbrace{\left[1+2+3+\cdots +\left(n-1\right)+n\right]}_{S_1}+\underbrace{\left(1+1+1+\cdots +1+1\right)}_{n\;\mathrm{jedinica}}[/dispmath][dispmath]\left(n+1\right)^3=1+3S_2+3S_1+n[/dispmath]
Sa [inlmath]S_2[/inlmath] smo označili sumu koju tražimo, a sa [inlmath]S_1[/inlmath] sumu aritmetičkog niza [inlmath]1+2+3+\cdots +\left(n-1\right)+n[/inlmath], koju lako možemo izračunati: [inlmath]S_1=\frac{n}{2}\left(1+n\right)[/inlmath]
[dispmath]S_2=\frac{\left(n+1\right)^3-n-1}{3}-S_1[/dispmath][dispmath]S_2=\frac{\left(n+1\right)^3-n-1}{3}-\frac{n}{2}\left(1+n\right)[/dispmath][dispmath]S_2=\frac{2n^3+6n^2+6n+2-2n-2-3n-3n^2}{6}[/dispmath][dispmath]S_2=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}[/dispmath][dispmath]S_2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}[/dispmath]
Početni izraz, koji tražimo, biće
[dispmath]\frac{4}{n^4}\sum_{k=1}^n k^2=\frac{4}{n^4}\cdot\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}=\frac{2\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3n^3}[/dispmath]