Dve aritmeticke progresije

PostPoslato: Četvrtak, 27. Jun 2013, 11:43
od _Mita
Neki clanovi aritmetickih progresija [inlmath]17,21,25,29,\dots[/inlmath] i [inlmath]16,21,26,\dots[/inlmath] jednaki su medju sobom. Tada zbir
prvih [inlmath]50[/inlmath] jednakih clanova datih progresija iznosi?
Jedino sto sam uspeo da uocim je:
[dispmath]a_2=b_2\\
a_7=b_6\\
a_{13}=b_{11}[/dispmath]
itd. Svaki sledeci clan je za jedno mesto dalje, ali ne umem to da pretvorim u neku formulu za zbir. Napisao bih nesto tipa[dispmath]S_{50}=\frac{50}{2}\cdot(2a_1+d+6d+12d+19d\dots)[/dispmath] ili slicno tome sa [inlmath]b[/inlmath].

Re: Dve aritmeticke progresije

PostPoslato: Četvrtak, 27. Jun 2013, 12:07
od ubavic
Kako se jedan niz povećava za [inlmath]4[/inlmath] a drugi za [inlmath]5[/inlmath], razlika njihovih zajednickih članova će biti [inlmath]4\cdot 5=20[/inlmath]. Prvi zajednički član je [inlmath]21[/inlmath] pa ćemo od njega početi da računamo.
Ovako glasi formula za zbir privih [inlmath]50[/inlmath] zajedničkih članova (u stvari, to je obična aritmetička progresija).
[dispmath]S=(21)+(21+20)+(21+2\cdot 20)+(21+3\cdot 20)+\cdots +(21+49\cdot 20)[/dispmath][dispmath]S=50\cdot 21+(20+2\cdot 20+3\cdot 20+\cdots +49\cdot 20)[/dispmath][dispmath]S=50\cdot 21+20(1+2+3+\cdots +49)[/dispmath][dispmath]S=25\:550[/dispmath]

Re: Dve aritmeticke progresije

PostPoslato: Četvrtak, 27. Jun 2013, 12:24
od _Mita
ubavic je napisao:[dispmath]S=(21)+(21+2\cdot 20)+(21+3\cdot 20)+\cdots +(21+50\cdot 20)[/dispmath]

Fali clan [inlmath](20+1\cdot 20)[/inlmath], mada mislim i da si posle u izvlacenju omanu malo :) pa je resenje [inlmath]25550[/inlmath].
Ne razumem kako si samo dosao do razlike ovog novog aritmetickog niza? Je l' to u sustini NZS za [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath]?
I hvala :D

Re: Dve aritmeticke progresije

PostPoslato: Četvrtak, 27. Jun 2013, 12:43
od ubavic
Uh zeznuo sam se. Sad ću prepraviti. Hvala na ispravci.
Da, NZS za [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath]

Re: Dve aritmeticke progresije

PostPoslato: Četvrtak, 27. Jun 2013, 12:54
od Daniel
_Mita je napisao:Ne razumem kako si samo dosao do razlike ovog novog aritmetickog niza? Je l' to u sustini NZS za [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath]?

Da, NZS. U ovom slučaju, za [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath], NZS je, slučajno, jednak proizvodu tih brojeva.

A može da se uradi i ovako: pošto smo dobili da je prvi član novog niza [inlmath]21[/inlmath], a razlika tog niza [inlmath]20[/inlmath], sumu njegovih prvih [inlmath]50[/inlmath] članova računamo po formuli[dispmath]S=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)[/dispmath][dispmath]S=\frac{n}{2}\left[a_1+a_1+\left(n-1\right)d\right][/dispmath][dispmath]S=\frac{n}{2}\left[2a_1+\left(n-1\right)d\right][/dispmath][dispmath]S=\frac{50}{2}\left(2\cdot 21+49\cdot 20\right)[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath]

Re: Dve aritmeticke progresije

PostPoslato: Četvrtak, 27. Jun 2013, 17:02
od _Mita
Daniel je napisao:[dispmath]S=\frac{n}{2}\left[2a_1+\left(n-1\right)d\right][/dispmath]

Koristio sam ja ovu formulu, samo nisam mogao da uocim ovo za [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath], a cak sam i ispisao prvih [inlmath]15[/inlmath] clanova :D