MATEMANIJA

Dat je niz [inlmath]a_1=2,\;a_2=3,\;a_4=11,\;a_5=18,\ldots[/inlmath] takav da razlike njegovih uzastopnih clanova obrazuju aritmeticki niz. Odrediti [inlmath]a_{500}[/inlmath]? Resenje: [inlmath]a_{500}=249003[/inlmath]
Iz uslova da posmatrani niz obrazuje aritmeticki niz odredio sam da je [inlmath]a_3=6[/inlmath]. Sad vazi
[dispmath]a_2-a_1=1+0\cdot2\\
a_3-a_2=1+1\cdot2\\
a_4-a_3=1+2\cdot2\\
\vdots\\
a_{n-1}-a_{n-2}=1+(n-3)\cdot2\\
a_n-a_{n-1}=1+(n-2)\cdot2[/dispmath] Sad imam problem da saberem desnu stranu. Ukupan zbir desne sam pokusao da nadjem kao zbir aritmetickog i geometrijskog niza, ali nisam. Gde je greska? Hvala!

Probaj da napises
[dispmath]a_2-a_1=2\cdot1-1[/dispmath] i sve tako dalje pa je na kraju
[dispmath]a_{500}-a_{499}=2\cdot499-1[/dispmath] Svaki se skrati sa sledecim [inlmath]a_2[/inlmath] sa [inlmath]a_2[/inlmath], [inlmath]a_3[/inlmath] sa [inlmath]a_3[/inlmath] i ostaje
[dispmath]a_{500}-a_1=2\cdot(1+2+3+\cdots+499)-499[/dispmath] To u zagradi je [inlmath]S_n[/inlmath] a [inlmath]n[/inlmath] je [inlmath]499[/inlmath] a [inlmath]a_1[/inlmath] je dato u zadatku to je [inlmath]2[/inlmath] i lako izracunas [inlmath]a_{500}[/inlmath]

Sasvim je svejedno da li ćemo [inlmath]a_2-a_1[/inlmath] napisati kao [inlmath]1+0\cdot2[/inlmath] ili kao [inlmath]2\cdot1-1[/inlmath] (analogno i za ostale razlike uzastopnih članova), svodi se na isti postupak.
Ne vidim gde si u zbiru desnih strana prepoznao geometrijski niz:

Frank je napisao:[dispmath]a_2-a_1=1+0\cdot2\\
a_3-a_2=1+1\cdot2\\
a_4-a_3=1+2\cdot2\\
\vdots\\
a_{n-1}-a_{n-2}=1+(n-3)\cdot2\\
a_n-a_{n-1}=1+(n-2)\cdot2[/dispmath]

Desne strane, kad se saberu, daju
[dispmath]\underbrace{1+1+1+\cdots+1+1}_{(n-1)\text{ jedinica}}+2\underbrace{\bigl(0+1+2+\cdots+(n-3)+(n-2)\bigr)}_{\frac{n-1}{2}\bigl(0+(n-2)\bigr)}[/dispmath] Znači, samo aritmetički niz. To se sad lako izračuna...

Daniel je napisao:Ne vidim gde si u zbiru desnih strana prepoznao geometrijski niz:

Na desnoj strani imamo niz [inlmath]1,1,1,1 ,1,\ldots,n-1[/inlmath]
(prvi sabirak desne strane svih jednačina), pa prvi član i količinik niza iznose [inlmath]1[/inlmath]. Zbir ovog niza ce biti [inlmath]n-1[/inlmath].

A na to si mislio... Pa, dobro, striktno govoreći može se i taj niz jedinica posmatrati kao geometrijski niz. Ali isto tako možeš za njega reći i da je aritmetički niz, kod kojeg je [inlmath]d=0[/inlmath]...

Daniel je napisao:Ali isto tako možeš za njega reći i da je aritmetički niz, kod kojeg je [inlmath]d=0[/inlmath]...

Da, bas sam sad o tome razmišljao.

Uradio sam zadatak ali imam jednu nedoumicu - Ako zbir desne strane napišem kao [inlmath]n-1+2\left(\frac{n-2}{2}\left(1+n-3\right)\right)[/inlmath] nece se dobiti kako treba. Nije mi najjasnije sta gde je greška kod ovog aritmetičkog niza? Naslućujem nešto, ali...

Zbir desne strane je [inlmath]n-1+2\left(\frac{n-2}{2}(1+n-{\color{red}2})\right)[/inlmath].
Naravno, imaj u vidu da je leva strana [inlmath]a_n-a_1[/inlmath].