Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Geometrijski niz – Odrediti koliko brojeva treba dodati izmedju...

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Geometrijski niz – Odrediti koliko brojeva treba dodati izmedju...

Postod forgempp » Nedelja, 31. Maj 2020, 20:40

Odrediti koliko brojeva treba dodati između [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]625[/inlmath] da bi bio formiran geometrijski niz, takav da je suma posmatranih članova [inlmath]781[/inlmath]. Nadam se da mi možete pomoći.
Našao sam prvo sljedeću formulu:
[dispmath]\sqrt[k+1]\frac{b}{a}[/dispmath] Imao sam ideju preko nje izraziti [inlmath]q[/inlmath] i onda u glavnu formulu za sumu, ali mislim da to nije dobar način jer se pored [inlmath]n[/inlmath] iz glavne formule za sumu sada "javlja" i [inlmath]k[/inlmath], sto mi je dodatno komplikovalo zadatak. Bilo kakva početna pomoć bi dobro došla. Hvala.
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Geometrijski niz – Odrediti koliko brojeva treba dodati izmedju...

Postod Frank » Nedelja, 31. Maj 2020, 21:21

Pozdrav! Dobro dosao!
Prvi clan niza je [inlmath]1[/inlmath], a poslednji je [inlmath]625[/inlmath]. Primenimo formulu za [inlmath]n[/inlmath]-ti clan geometrijskog niza
[dispmath]a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\
625=\frac{q^n}{q}\;\Longrightarrow\;q^n=625q[/dispmath] Sad treba nekako da iskoristimo podatak da je zbir posmatranih clanova jednak [inlmath]781[/inlmath]. Koristimo formulu za sumu prvih [inlmath]n[/inlmath] clanova geometrijskog niza
[dispmath]S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1},\;q\ne1\\
781=\frac{q^n-1}{q-1}\\
781=\frac{625q-1}{q-1}\\
781q-781=625q-1\\
156q=780\;\Longrightarrow\;q=\frac{780}{156}=5\\
5^n=625\cdot5\\
5^n=5^5\;\Longrightarrow\;n=5[/dispmath] Konacno resenje zadatka dobijamo kada od ukupnog broja clanova uduzmemo broj poznatih clanova, tj. [inlmath]\enclose{box}{x=5-2=3}[/inlmath].
Radi provere mozes ispisati clanove posmatranog niza: [inlmath]1,5,25,125,625[/inlmath]. Iz ovoga vidimo da su svi uslovi iz postavke zadatka ispunjeni.

P.S. Preporucio bih ti da ne trazis tamo neke formule, vec da pokusas da zadatak resis pomocu osnovnih formula, cije se poznavanje podrazumeva. Nema smisla za svaki zadatak traziti formulu i samo ubaciti podatke, zar ne? :)
Pretpostavljam da potrosis dosta vremena dok ne napatrljas na neku nepotrebnu formulu.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Re: Geometrijski niz – Odrediti koliko brojeva treba dodati izmedju...

Postod forgempp » Ponedeljak, 01. Jun 2020, 00:14

Hvala puno! Ja sam izvlačio [inlmath]q[/inlmath] iz neke formule umjesto da sam to uradio iz najosnovnije :crazy: Lijepa lekcija za ubuduće. Pozz :thumbup:
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Geometrijski niz – Odrediti koliko brojeva treba dodati izmedju...

Postod Daniel » Ponedeljak, 01. Jun 2020, 17:47

Frank je napisao:P.S. Preporucio bih ti da ne trazis tamo neke formule, vec da pokusas da zadatak resis pomocu osnovnih formula, cije se poznavanje podrazumeva. Nema smisla za svaki zadatak traziti formulu i samo ubaciti podatke, zar ne? :)

Upravo to, štaviše, kad primenjuješ neke formule bez razumevanja onda se može desiti i da ih pogrešno napišeš/prepišeš (kao što se i sad desilo). Pretpostavljam da je to što si napisao, [inlmath]\sqrt[k+1]\frac{b}{a}[/inlmath], trebalo da bude izraz za količnik [inlmath]q[/inlmath], a da [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] označavaju prvi i poslednji član niza. Ali u tom slučaju, taj izraz je pogrešan i treba zapravo da glasi [inlmath]\sqrt[k-1]\frac{b}{a}[/inlmath] (tj. [inlmath]k-1[/inlmath] umesto [inlmath]k+1[/inlmath]).
Mada, vrlo si lako do izraza za [inlmath]q[/inlmath] mogao doći i preko izraza za [inlmath]k[/inlmath]-ti član niza: [inlmath]a_k=a_1q^{k-1}\;\Longrightarrow\;q^{k-1}=\frac{a_k}{a_1}\;\Longrightarrow\;q=\sqrt[k-1]\frac{a_k}{a_1}[/inlmath]
Poslednji put menjao Daniel dana Utorak, 21. Jul 2020, 22:12, izmenjena samo jedanput
Razlog: Ispravka q-1 u k-1
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9304
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Geometrijski niz – Odrediti koliko brojeva treba dodati izmedju...

Postod Griezzmiha » Utorak, 21. Jul 2020, 19:03

Daniel je napisao:[inlmath]\Longrightarrow\;q=\sqrt[q-1]\frac{a_k}{a_1}[/inlmath]

Da se neko ne bi zbunio eventualno, pretpostavljam da si samo permutovao oznaku, Daniele.
Rekao bih, ako se ne varam, da na kraju treba izgledati ovako... [inlmath]q=\sqrt[k-1]\frac{a_k}{a_1}[/inlmath] tj. umesto [inlmath]q-1[/inlmath] treba [inlmath]k-1[/inlmath] iznad korena.
Korisnikov avatar
 
Postovi: 112
Zahvalio se: 48 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Geometrijski niz – Odrediti koliko brojeva treba dodati izmedju...

Postod Daniel » Utorak, 21. Jul 2020, 22:12

Naravno. Sasvim je logično da iz [inlmath]q^{k-1}=\frac{a_k}{a_1}[/inlmath] sledi [inlmath]q=\sqrt[k-1]\frac{a_k}{a_1}[/inlmath] (kada se izvuče [inlmath](k-1).[/inlmath] koren obe strane).

Ispravio sam, da ne bi dolazilo do zabune. Hvala na primedbi. :thumbup:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9304
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Geometrijski niz – Odrediti koliko brojeva treba dodati izmedju...

Postod Euklidovo_tijelo » Petak, 03. Jun 2022, 19:05

Pozdrav, može li neko malo pobliže objasniti kako se iz formule za [inlmath]n[/inlmath]-ti član niza dobije formula sa [inlmath]625[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath]?
Unaprijed zahvalan na pomoći. :)
 
Postovi: 8
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Geometrijski niz – Odrediti koliko brojeva treba dodati izmedju...

Postod Daniel » Nedelja, 05. Jun 2022, 19:51

Ako misliš na ovu formulu,
Frank je napisao:[dispmath]a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\
625=\frac{q^n}{q}\;\Longrightarrow\;q^n=625q[/dispmath]

po uslovu zadatka je prvi član jednak [inlmath]1[/inlmath] pa se u [inlmath]a_n=a_1\cdot q^{n-1}[/inlmath] uvrštava [inlmath]a_1=1[/inlmath], a poslednji ([inlmath]n[/inlmath]-ti) član jednak je [inlmath]625[/inlmath] pa se uvrštava [inlmath]a_n=625[/inlmath]. Time se dobije [inlmath]625=q^{n-1}[/inlmath].
[inlmath]q^{n-1}[/inlmath] je, naravno, [inlmath]\frac{q^n}{q}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9304
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 13. April 2024, 08:09 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs