Budući da autor teme nije tražio kompletan postupak (što je svakako pohvalno
) već je postavio konkretna pitanja, ja ću na ta konkretna pitanja i odgovoriti:
Srdjan01 je napisao:[dispmath]\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{k}(k+1)}+\frac{1}{\sqrt{k+1}\cdot(k+2)}<2-\frac{2}{\sqrt{k+2}}[/dispmath] E sada ne razumijem, da li se izraz [inlmath]\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{k}(k+1)}[/inlmath] može zamjeniti izrazom [inlmath]2-\frac{2}{\sqrt{k+1}}[/inlmath] zbog znaka [inlmath]<[/inlmath] "manje". Po mom mišljenju, ne može, vjerovatno postoji "caka" koju ne uočavam.
Da, sme. U opštem slučaju, ako treba da dokažeš neku nejednakost [inlmath]a<b[/inlmath], to možeš učiniti tako što uzmeš neko [inlmath]c[/inlmath] za koje znaš da je veće od [inlmath]a[/inlmath] i ako dokažeš da važi [inlmath]c<b[/inlmath] samim tim će važiti i [inlmath]a<b[/inlmath], jer iz [inlmath]a<c[/inlmath] i [inlmath]c<b[/inlmath] sledi i [inlmath]a<b[/inlmath] (osobina tranzitivnosti za relaciju [inlmath]<[/inlmath]).
Čak, pri tom dokazivanju, nije neophodno dokazivati ni strogu nejednakost [inlmath]c<b[/inlmath], dovoljno je dokazati [inlmath]c\le b[/inlmath], jer iz [inlmath]a<c\le b[/inlmath], takođe sledi [inlmath]a<b[/inlmath]. To znači, u koraku
primus je napisao:[dispmath]\sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{\sqrt{i}(i+1)}=\sum_{i=1}^k\frac{1}{\sqrt{i}(i+1)}+\frac{1}{\sqrt{k+1}(k+2)}<2-\frac{2}{\sqrt{k+1}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}(k+2)}[/dispmath] Dakle potrebno je pokazati da važi
[dispmath]2-\frac{2}{\sqrt{k+1}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}(k+2)}<2-\frac{2}{\sqrt{k+2}}[/dispmath]
dovoljno je pokazati da važi „samo“
[dispmath]2-\frac{2}{\sqrt{k+1}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}(k+2)}{\color{red}\le}2-\frac{2}{\sqrt{k+2}}[/dispmath] Dakle, čak i kad bismo dobili da je izraz [inlmath]2-\frac{2}{\sqrt{k+1}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}(k+2)}[/inlmath] jednak izrazu [inlmath]2-\frac{2}{\sqrt{k+2}}[/inlmath] (nije, al' zamislimo da jeste), time bismo opet dokazali nejednakost koju je trebalo dokazati:
[dispmath]\sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{\sqrt{i}(i+1)}=\sum_{i=1}^k\frac{1}{\sqrt{i}(i+1)}+\frac{1}{\sqrt{k+1}(k+2)}<2-\frac{2}{\sqrt{k+1}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}(k+2)}{\color{#04F}=}2-\frac{2}{\sqrt{k+2}}\\
\Longrightarrow\quad\sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{\sqrt{i}(i+1)}<2-\frac{2}{\sqrt{k+2}}[/dispmath] (Plavim znakom jednakosti označio sam jednakost koja identički nije tačna, ali sam time samo hteo da pokažem zbog čega smo smeli postaviti i blaži uslov, sa znakom [inlmath]\le[/inlmath] umesto [inlmath]<[/inlmath].)
Srdjan01 je napisao:[dispmath]2-\frac{2}{\sqrt{k+1}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}\cdot(k+2)}<2-\frac{2}{\sqrt{k+2}}[/dispmath] Takođe, sa ovim dijelom, ne znam šta bih dalje.
Svedeš sve na zajednički imenilac i, pošto je taj zajednički imenilac pozitivan, dovoljno je samo da posmatraš znak brojioca (nakon što sve prebaciš na jednu stranu). Time dobijaš standardnu iracionalnu nejednačinu. To je suština postupka koji ti je primus pokazao.