Zadatak glasi: Neka je [inlmath]x[/inlmath] pozitivan, a [inlmath]y[/inlmath] negativan realan broj takav da je [inlmath]x+y>0[/inlmath]. Dokazati da za sve prirodne brojeve [inlmath]n[/inlmath] veće od [inlmath]1[/inlmath] vrijedi:
[dispmath]x^n+(-1)^{n+2019}y^n>n(x+y)(-1)^{n+2019}y^{n-1}[/dispmath] E sada ja sam krenuo ovako:
- Dokazivanje za [inlmath]n=2[/inlmath]
[dispmath]x^2+(-1)^{2+2019}y^2>2(x+y)(-1)^{2+2019}y^{2-1}\\
x^2+(-1)^{2021}y^2>2(x+y)(-1)^{2021}y\\
\enclose{box}{x^2-y^2>-2xy-2y^2}[/dispmath] E sada pošto u uslovu zadatka piše da su [inlmath]x>0\;\land\;y<0\;\land\;x+y>0[/inlmath]. Uzimam kao primjer određene vrijednosti [inlmath]x=5\;\land\;y=-3[/inlmath].
[dispmath]5^2-(-3)^2>-2\cdot5\cdot(-3)-2(-3)^2\\
\enclose{box}{16>12}[/dispmath] Tvrdnja je zadovoljena. - Pretpostavka [inlmath]n=k[/inlmath]
[dispmath]x^k+(-1)^{k+2019}y^k>k(x+y)(-1)^{k+2019}y^{k-1}[/dispmath] - Dodavanje [inlmath]n=k+1[/inlmath]
[dispmath]x^k+(-1)^{k+2019}y^k+x^{k+1}+(-1)^{k+1+2019}y^{k+1}>(k+1)(x+y)(-1)^{k+2020}y^k\\
k(x+y)(-1)^{k+2019}y^{k-1}+x^{k+1}+(-1)^{k+2020}y^{k+1}>(k+1)(x+y)(-1)^{k+2020}y^k[/dispmath] E sada u ovom dijelu ne znam šta dalje. Ja sam u nadi da će mi to pomoći, kako bih dokazao nejednakost, uvrstio umjesto [inlmath]x,y,k[/inlmath] određene vrijednosti, i nejednakost bude zadovoljena, ali vjerovatno postoji "pravi" način kako se dolazi do rješenja. Unaprijed Hvala!