Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Aritmetički/geometrijski niz – FTN

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Aritmetički/geometrijski niz – FTN

Postod Acim » Nedelja, 24. Januar 2021, 12:02

Pozdrav,
Zadatak glasi;
Drugi, prvi i treći član aritmetičkog niza, kod koga je diferencija [inlmath]d[/inlmath] različito od nule, u datom poretku čine geometrijsku progresiju. Odrediti količnik [inlmath]q[/inlmath].

Zadatak sam počeo rešavati ovako;
Aritmetički niz čine članovi redom [inlmath]a_1,a_2,a_3[/inlmath], a po uslovu zadatka, drugi, prvi i treći član a. niza u tom poretku čine g. niz pa ispada da Geometrijski niz izgleda ovako; [inlmath]a_2,a_1,a_3[/inlmath]

Prvo sam krenuo od geometrijske sredine pa potom išao na [inlmath]d[/inlmath]
[dispmath]a_1=\sqrt{a_2\cdot a_3}[/dispmath] Kako je prvi član geometrijskog niza u aritmetičkom prvi član, takođe kako je prvi član geometrijskog niza u aritmetičkom drugi član i kako je treći član g. niza u aritmetičkom takođe 3. član, dobijamo sledeće;
[dispmath]a_1=\sqrt{\left(a_1+d\right)\left(a_1+2d\right)}[/dispmath] Kad se izraz sredi, dobija se [inlmath]2d^2+3a_1d=0[/inlmath] i tu mi nešto govori da sam već pogrešio ali nisam mogao da uvidim šta.
Onda sam krenuo na aritmetičku sredinu i išao na [inlmath]q[/inlmath]
Kako je drugi član aritmetičkle progresije u geometrijskoj prvi, trebalo bi sve da svedemo na [inlmath]a_2[/inlmath], gde dobijamo;
[dispmath]a_2=\frac{a_2+a_2q}{2}[/dispmath] Kad se izraz sredi dobija se [inlmath]a_2-a_2q=0[/inlmath]
Ovde kada grupišem dobijem da je [inlmath]q=1[/inlmath] što nije tačno rešenje, već je tačno rešenje [inlmath]-2[/inlmath], ali zbog čega i kako je dobijeno da je [inlmath]q=-2[/inlmath], kad nije naglašeno da progresija nije ni rastuća ni opadajuća?
Hvala unapred na pomoći.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Aritmetički/geometrijski niz – FTN

Postod primus » Nedelja, 24. Januar 2021, 13:26

Hint:
[dispmath]a_2=\frac{a_1+a_3}{2}\;\Longrightarrow\;a_2=\frac{a_2q+a_2q^2}{2}[/dispmath]
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

  • +1

Re: Aritmetički/geometrijski niz – FTN

Postod Acim » Nedelja, 24. Januar 2021, 15:53

Sad se dobija tačno, samo mi nije jasno zbog čega je [inlmath]a_2q[/inlmath] i [inlmath]a_2q^2[/inlmath], kad je prvi član a. niza u geometrijskom drugi, i tu bi valjda samo trebali da ostavimo [inlmath]a_2[/inlmath] isto, zbog čega ide [inlmath]a_2q^2[/inlmath] kad je treći član a. niza u geometrijskom takođe treći i on bi valjda trebalo da se piše kao [inlmath]a_2q[/inlmath]?
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Re: Aritmetički/geometrijski niz – FTN

Postod primus » Nedelja, 24. Januar 2021, 17:45

Ako označimo članove geometrijskog niza sa [inlmath]b_1,b_2,b_3[/inlmath] imamo da je [inlmath]b_1=a_2[/inlmath], [inlmath]b_2=a_1[/inlmath], [inlmath]b_3=a_3[/inlmath]. Odavde sledi: [inlmath]a_1=b_2=b_1q=a_2q[/inlmath] i [inlmath]a_3=b_3=b_2q=b_1q^2=a_2q^2[/inlmath].
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

Re: Aritmetički/geometrijski niz – FTN

Postod Daniel » Nedelja, 24. Januar 2021, 19:18

Acim je napisao:Kad se izraz sredi, dobija se [inlmath]2d^2+3a_1d=0[/inlmath] i tu mi nešto govori da sam već pogrešio ali nisam mogao da uvidim šta.

Do tog mesta je sve u redu, primus ti je ukazao gde je bila greška. Ali, pokazao bih i drugi, po meni nešto kraći način. Pošavši od [inlmath]a_1^2=a_2a_3[/inlmath], umesto da [inlmath]a_2[/inlmath] i [inlmath]a_3[/inlmath] izrazimo preko [inlmath]a_1[/inlmath], izrazimo sve preko [inlmath]a_2[/inlmath] (nekako je zgodnije budući da je to srednji član aritmetičke progresije), čime dobijamo [inlmath](a_2-d)^2=a_2(a_2+d)[/inlmath], a odatle [inlmath]d^2=3a_2d[/inlmath], čija su rešenja [inlmath]d=0[/inlmath] i [inlmath]d=3a_2[/inlmath], pri čemu ovo prvo otpada zbog uslova zadatka [inlmath]d\ne0[/inlmath]. Odatle [inlmath]q[/inlmath] lako nalazimo kao [inlmath]q=\frac{a_1}{a_2}[/inlmath], izrazivši [inlmath]a_1[/inlmath] kao [inlmath]a_2-d[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 44 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 07:45 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs