Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Beskonacna geometrijska progresija - Metodicka zbirka, 51.zadatak

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Beskonacna geometrijska progresija - Metodicka zbirka, 51.zadatak

Postod emi » Petak, 30. April 2021, 12:26

Pozdrav svima!
Zadatak glasi: U pravu kupu poluprecnika osnove R i ugla pri vrhu osnog preseka [inlmath]2\alpha[/inlmath] upisana je lopta. Zatim je upisana lopta koja dodiruje prvu loptu i omotac kupe itd. u beskonacnost. Izracunati zbir povrsina ovog beskonacnog niza lopti.

Resenje je: [inlmath]{\pi}{R^2}{\cos\alpha}{ \cot\alpha}[/inlmath].

Ideja mi je da precnik lopte predstavim kao razliku visine kupe i visine koja se dobija kada se od visine kupe oduzme precnik lopte. Probala sam i da ugao izmedju visine i izvodnice ([inlmath]\alpha[/inlmath]) izrazim preko sinusa i kosinusa, ali ne znam sta bih dalje. :think1:
emi  OFFLINE
 
Postovi: 79
Zahvalio se: 58 puta
Pohvaljen: 56 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Beskonacna geometrijska progresija - Metodicka zbirka, 51.zadatak

Postod Vivienne » Petak, 30. April 2021, 14:38

Nakon što nacrtaš sliku treba da uočiš sličnost trouglova
Prvi trougao koji treba posmatrati je trougao koji gradi visina kupe, izvodnica i poluprečnik osnove kupe. Drugi trougao je trougao koji gradi poluprečnik lopte i razlika visine kupe i tog poluprečnika. Ova dva trougla su slična imaju prave uglove i ugao pri vrhu je [inlmath]\alpha[/inlmath] iz te sličnosti sledi
[dispmath]R:\frac{R}{\sin\alpha}=r_1:\bigg(\frac{R}{\tan\alpha}-r_1\bigg)[/dispmath]
[inlmath]R[/inlmath] oznaka za poluprečnik kupe
[inlmath]\frac{R}{\tan\alpha}[/inlmath] visina kupe
[inlmath]\frac{R}{\sin\alpha}[/inlmath] izvodnica kupe
[inlmath]r_1[/inlmath] to je poluprečnik prve lopte
[dispmath]r_1= \frac{R\cos\alpha }{1+\sin\alpha }[/dispmath]
Sad posmatramo opet trougao koji grade visina kupe, [inlmath]R[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath] i trougao koji ce graditi poluprečnik druge lopte [inlmath]r_2[/inlmath]
[dispmath]R:\frac{R}{\sin\alpha}=r_2:\bigg(\frac{R}{\tan\alpha}-2r_1-r_2\bigg)[/dispmath]
I dobićeš kad sve to izmnožiš i središ [dispmath]r_2=\frac{R\cos\alpha}{1+\sin\alpha}\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}[/dispmath] odnosno [inlmath]r_2=r_1\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}[/inlmath] i tako dalje možeš uraditi i [inlmath]r_3[/inlmath] i ostale, primetićeš da će to biti geometrijski niz.
Sada samo treba odrediti sumu površina svih tih lopti što predstavlja beskonačnu geometrijsku progresiju.
[inlmath]S=\frac{4\pi R^2\cos^2\alpha}{(1+\sin\alpha)^2}\cdot\frac{1}{1-(\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha})^2}[/inlmath] kad se ovo malo sredi dobija se dato rešenje.
 
Postovi: 71
Zahvalio se: 42 puta
Pohvaljen: 92 puta

Re: Beskonacna geometrijska progresija - Metodicka zbirka, 51.zadatak

Postod emi » Petak, 30. April 2021, 17:45

Hvala ti! :)
emi  OFFLINE
 
Postovi: 79
Zahvalio se: 58 puta
Pohvaljen: 56 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 42 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 09:12 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs