Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Zbir svih 10 članova niza geometrijskog – prijemni FON 2005.

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Zbir svih 10 članova niza geometrijskog – prijemni FON 2005.

Postod Acim » Nedelja, 13. Jun 2021, 17:39

Prijemni ispit FON – 30. jun 2005.
19. zadatak


Brojevi [inlmath]a_1,a_2,\ldots,a_{10}[/inlmath] čine geometrijski niz. Ako je zbir prvih pet članova tog niza [inlmath]32[/inlmath] puta manji od zbira narednih pet članova i ako je zbir prvog i šestog člana jednak [inlmath]33[/inlmath], onda je zbir svih deset članova tog niza jednak;
Tačan odgovor je [inlmath]1023[/inlmath]

Prema uslovu zadatka imamo;
[dispmath]a_1\frac{1-q^5}{1-q}=\frac{aq^5+aq^6+aq^7+aq^8+aq^9}{32}\\
32a_1\left(1-q^5\right)=aq^5\left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)\left(1-q\right)[/dispmath] Odavde sam jedino mogao da skratim [inlmath]a_1[/inlmath] sa leve i desne strane, ali ne znam kako dalje.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Zbir svih 10 članova niza geometrijskog – prijemni FON 2005.

Postod Vivienne » Nedelja, 13. Jun 2021, 17:49

[dispmath]1-q^5=(1-q)\left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)[/dispmath]
 
Postovi: 71
Zahvalio se: 42 puta
Pohvaljen: 92 puta

  • +2

Re: Zbir svih 10 članova niza geometrijskog – prijemni FON 2005.

Postod Daniel » Nedelja, 13. Jun 2021, 18:09

Acim je napisao:Ako je zbir prvih pet članova tog niza [inlmath]32[/inlmath] puta manji od zbira narednih pet članova

Zbir tih narednih pet članova može se zapisati dosta zgodnije, ako se uoči da je prvi član tog zbira jednak [inlmath]a_6[/inlmath], tj. jednak je [inlmath]a_1q^5[/inlmath]. Količnik je nepromenjen, tj. iznosi [inlmath]q[/inlmath]. Prema tome,
[dispmath]a_1\frac{1-q^5}{1-q}=\frac{1}{32}a_1q^5\frac{1-q^5}{1-q}[/dispmath] I tu se sad svašta-nešto pokrati...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Zbir svih 10 članova niza geometrijskog – prijemni FON 2005.

Postod Acim » Nedelja, 13. Jun 2021, 18:38

Hvala.
Vivienne je napisao:[dispmath]1-q^5=(1-q)\left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)[/dispmath]

Nisam znao da na ovaj način može da se rastavlja. Kako se to tačno radi, ima li neka generalna formula za [inlmath]n[/inlmath]-te stepene prilikom rastavljanja baš kao i ovde?

Daniele, da li bi mogli isti taj princip primeniti i na aritmetički niz, pošto sam (do sada) mislio da se ta formula može koristiti samo za zbir prvih [inlmath]n[/inlmath] članova, a ne i za zbirove ostalih članova, kao što je zbir narednih pet u ovom slučaju?
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Re: Zbir svih 10 članova niza geometrijskog – prijemni FON 2005.

Postod Vivienne » Nedelja, 13. Jun 2021, 19:38

Acim je napisao:Nisam znao da na ovaj način može da se rastavlja. Kako se to tačno radi, ima li neka generalna formula za [inlmath]n[/inlmath]-te stepene prilikom rastavljanja baš kao i ovde?

Možeš da pogledaš ovu temu
 
Postovi: 71
Zahvalio se: 42 puta
Pohvaljen: 92 puta

  • +1

Re: Zbir svih 10 članova niza geometrijskog – prijemni FON 2005.

Postod Daniel » Nedelja, 13. Jun 2021, 21:06

Acim je napisao:Daniele, da li bi mogli isti taj princip primeniti i na aritmetički niz, pošto sam (do sada) mislio da se ta formula može koristiti samo za zbir prvih [inlmath]n[/inlmath] članova, a ne i za zbirove ostalih članova, kao što je zbir narednih pet u ovom slučaju?

Pa, vidi, sasvim je logično. Ako iz bilo kog geometrijskog niza izdvojiš određen broj uzastopnih članova, svaka dva uzastopna člana će i dalje stajati u istom odnosu, pa će to opet biti neki geometrijski niz, samo što će prvi član biti neki novi.
Naravno da to isto važi i kod aritmetičkog niza: Ako imamo aritmetički niz [inlmath]3,5,7,9,11,13,15,17,19,21[/inlmath] i onda izdvojimo članove npr. od trećeg do sedmog, dobićemo novi niz [inlmath]7,9,11,13,15[/inlmath], koji će, sasvim očigledno, takođe biti aritmetički.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 46 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 21:24 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs