Furijeov red po kosinusima

PostPoslato: Ponedeljak, 23. Avgust 2021, 16:32
od Micko123
Pozdrav, kada nam nije dat opseg kod Furijeovog reda, sta onda treba da uradimo. Tekst zadatka:
Data je funkcija [inlmath]f(x)=2x^2+2021[/inlmath]. Razviti funkciju [inlmath]f(x)[/inlmath] u nepotpun Furijeov red po kosinusima.

Re: Furijeov red po kosinusima

PostPoslato: Nedelja, 06. Mart 2022, 01:25
od desideri
Podrazumevani interval za razvoj funkcije u Furijeov red je od [inlmath]-\pi[/inlmath] do [inlmath]\pi[/inlmath].
S druge strane, razviti je po kosinusima znači proširiti je tako da bude parna, raditi kao da je parna. To je ovde višak u tekstu zadatka jer je ova funkcija svakako parna.
Dakle, nalazimo:
[dispmath]a_0=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\left(2x^2+2021\right)\mathrm dx=\frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi\left(2x^2+2021\right)\mathrm dx\\
a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\left(2x^2+2021\right)\cos(nx)\,\mathrm dx=\frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi\left(2x^2+2021\right)\cos(nx)\,\mathrm dx\\
b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\left(2x^2+2021\right)\sin(nx)\,\mathrm dx=0[/dispmath] Prvi integral je tablični, drugi se radi dva puta parcijalno, a treći je svakako nula, pa razvoj sadrži samo kosinuse:
[dispmath]f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(nx)+\cancelto0{b_n\sin(nx)})[/dispmath]