Konvergencija niza
Poslato: Subota, 18. Septembar 2021, 21:46
Pokušavam da dokažem da je
[dispmath]\lim\frac{n^2}{n^2+4}=1,[/dispmath] koristeći činjenicu da niz [inlmath]a_n[/inlmath] konvergira ka realnom broju [inlmath]a[/inlmath] ako za sve [inlmath]\varepsilon>0[/inlmath] postoji [inlmath]N[/inlmath] ([inlmath]N_\varepsilon[/inlmath]) takav da kad god je [inlmath]n>N[/inlmath] imamo da je [inlmath]|a_n-a|<\varepsilon[/inlmath].
Ovako sam pristupio zadatku:
Po definiciji, znamo da [inlmath]\left|\frac{n^2}{n^2+4}-1\right|<\varepsilon[/inlmath]. Odnosno, [inlmath]\left|\frac{n^2}{n^2+4}-\frac{n^2+4}{n^2+4}\right|<\varepsilon[/inlmath], odakle dobijamo da je [inlmath]\left|-\frac{4}{n^2+4}\right|<\varepsilon[/inlmath]. Na osnovu definicije o apsolutnim vrednostima, ovo možemo da napišemo kao [inlmath]-\left(-\frac{4}{n^2+4}\right)<\varepsilon[/inlmath], odakle sledi [inlmath]\frac{4}{n^2+4}<\varepsilon[/inlmath]. Ovde sam zatim nastavio sa računanjem sve dok nisam stigao do dela da je [inlmath]n>\sqrt{\frac{4}{\varepsilon}-4}[/inlmath] i [inlmath]N_\varepsilon=\sqrt{\frac{4}{\varepsilon}-4}[/inlmath]. Shvatio sam da izraz pod korenom može biti negativan, pa sam zastao jer nisam znao šta da radim.
Pročitao sam na internetu da postoji način da se nekako zaobiđe ta situacija. Naime, prvo što bi trebalo jeste da primetim da je [inlmath]\frac{4}{n^2+4}<\frac{4}{n^2}[/inlmath]. Dakle, ako je [inlmath]\varepsilon>\frac{4}{n^2}[/inlmath], onda znamo da je [inlmath]\varepsilon>\frac{4}{n^2+4}[/inlmath]. U tom slučaju dobijam da je [inlmath]n^2>\frac{4}{\varepsilon}[/inlmath], odnosno da je [inlmath]n>\frac{2}{\sqrt{\varepsilon}}[/inlmath]. Dakle, [inlmath]N_\varepsilon=\frac{2}{\sqrt{\varepsilon}}[/inlmath].
Zanima me da li je moguće ,,zaobići" situaciju u kojoj moram da se brinem o negativnom rezultatu ispod kvadratnog korena, kao i da li je način na koji se to može zaobići, a koji sam pronašao na internetu, pravilan.
[dispmath]\lim\frac{n^2}{n^2+4}=1,[/dispmath] koristeći činjenicu da niz [inlmath]a_n[/inlmath] konvergira ka realnom broju [inlmath]a[/inlmath] ako za sve [inlmath]\varepsilon>0[/inlmath] postoji [inlmath]N[/inlmath] ([inlmath]N_\varepsilon[/inlmath]) takav da kad god je [inlmath]n>N[/inlmath] imamo da je [inlmath]|a_n-a|<\varepsilon[/inlmath].
Ovako sam pristupio zadatku:
Po definiciji, znamo da [inlmath]\left|\frac{n^2}{n^2+4}-1\right|<\varepsilon[/inlmath]. Odnosno, [inlmath]\left|\frac{n^2}{n^2+4}-\frac{n^2+4}{n^2+4}\right|<\varepsilon[/inlmath], odakle dobijamo da je [inlmath]\left|-\frac{4}{n^2+4}\right|<\varepsilon[/inlmath]. Na osnovu definicije o apsolutnim vrednostima, ovo možemo da napišemo kao [inlmath]-\left(-\frac{4}{n^2+4}\right)<\varepsilon[/inlmath], odakle sledi [inlmath]\frac{4}{n^2+4}<\varepsilon[/inlmath]. Ovde sam zatim nastavio sa računanjem sve dok nisam stigao do dela da je [inlmath]n>\sqrt{\frac{4}{\varepsilon}-4}[/inlmath] i [inlmath]N_\varepsilon=\sqrt{\frac{4}{\varepsilon}-4}[/inlmath]. Shvatio sam da izraz pod korenom može biti negativan, pa sam zastao jer nisam znao šta da radim.
Pročitao sam na internetu da postoji način da se nekako zaobiđe ta situacija. Naime, prvo što bi trebalo jeste da primetim da je [inlmath]\frac{4}{n^2+4}<\frac{4}{n^2}[/inlmath]. Dakle, ako je [inlmath]\varepsilon>\frac{4}{n^2}[/inlmath], onda znamo da je [inlmath]\varepsilon>\frac{4}{n^2+4}[/inlmath]. U tom slučaju dobijam da je [inlmath]n^2>\frac{4}{\varepsilon}[/inlmath], odnosno da je [inlmath]n>\frac{2}{\sqrt{\varepsilon}}[/inlmath]. Dakle, [inlmath]N_\varepsilon=\frac{2}{\sqrt{\varepsilon}}[/inlmath].
Zanima me da li je moguće ,,zaobići" situaciju u kojoj moram da se brinem o negativnom rezultatu ispod kvadratnog korena, kao i da li je način na koji se to može zaobići, a koji sam pronašao na internetu, pravilan.