Konvergencija niza

PostPoslato: Subota, 18. Septembar 2021, 21:46
od StefanosDrag
Pokušavam da dokažem da je
[dispmath]\lim\frac{n^2}{n^2+4}=1,[/dispmath] koristeći činjenicu da niz [inlmath]a_n[/inlmath] konvergira ka realnom broju [inlmath]a[/inlmath] ako za sve [inlmath]\varepsilon>0[/inlmath] postoji [inlmath]N[/inlmath] ([inlmath]N_\varepsilon[/inlmath]) takav da kad god je [inlmath]n>N[/inlmath] imamo da je [inlmath]|a_n-a|<\varepsilon[/inlmath].

Ovako sam pristupio zadatku:
Po definiciji, znamo da [inlmath]\left|\frac{n^2}{n^2+4}-1\right|<\varepsilon[/inlmath]. Odnosno, [inlmath]\left|\frac{n^2}{n^2+4}-\frac{n^2+4}{n^2+4}\right|<\varepsilon[/inlmath], odakle dobijamo da je [inlmath]\left|-\frac{4}{n^2+4}\right|<\varepsilon[/inlmath]. Na osnovu definicije o apsolutnim vrednostima, ovo možemo da napišemo kao [inlmath]-\left(-\frac{4}{n^2+4}\right)<\varepsilon[/inlmath], odakle sledi [inlmath]\frac{4}{n^2+4}<\varepsilon[/inlmath]. Ovde sam zatim nastavio sa računanjem sve dok nisam stigao do dela da je [inlmath]n>\sqrt{\frac{4}{\varepsilon}-4}[/inlmath] i [inlmath]N_\varepsilon=\sqrt{\frac{4}{\varepsilon}-4}[/inlmath]. Shvatio sam da izraz pod korenom može biti negativan, pa sam zastao jer nisam znao šta da radim.

Pročitao sam na internetu da postoji način da se nekako zaobiđe ta situacija. Naime, prvo što bi trebalo jeste da primetim da je [inlmath]\frac{4}{n^2+4}<\frac{4}{n^2}[/inlmath]. Dakle, ako je [inlmath]\varepsilon>\frac{4}{n^2}[/inlmath], onda znamo da je [inlmath]\varepsilon>\frac{4}{n^2+4}[/inlmath]. U tom slučaju dobijam da je [inlmath]n^2>\frac{4}{\varepsilon}[/inlmath], odnosno da je [inlmath]n>\frac{2}{\sqrt{\varepsilon}}[/inlmath]. Dakle, [inlmath]N_\varepsilon=\frac{2}{\sqrt{\varepsilon}}[/inlmath].

Zanima me da li je moguće ,,zaobići" situaciju u kojoj moram da se brinem o negativnom rezultatu ispod kvadratnog korena, kao i da li je način na koji se to može zaobići, a koji sam pronašao na internetu, pravilan.

Re: Konvergencija niza

PostPoslato: Nedelja, 19. Septembar 2021, 15:48
od mndr1
Ne znam koristiti LaTeX pa koristim UNICIDE.

Nadam se da ćeš razumjeti šta je napisano.

Uprostiš izraz tako da podijeliš imenik i imenilac sa [inlmath]n^2[/inlmath]
[dispmath]\frac{n^2}{n^2-4}=\frac{\frac{n^2}{n^2}}{\frac{n^2-4}{n^2}}=\frac{1}{1-\frac{4}{n^2}}[/dispmath] Pa je:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2-4}=\\
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1-\frac{4}{n^2}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{4}{n^2}\right)}[/dispmath] Sada trebaš dokazati da je:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{4}{n^2}\right)=1[/dispmath] Nadam se da dalje možeš sam.

Re: Konvergencija niza

PostPoslato: Četvrtak, 23. Septembar 2021, 21:46
od Fare
Iz dela [inlmath]\frac{4}{n^2+4}<\varepsilon[/inlmath] može se zaključiti da je svako [inlmath]n[/inlmath] važi da je [inlmath]\frac{4}{n^2+4}≤\frac{4}{5}[/inlmath]. Dakle, ako je [inlmath]ε≥\frac{4}{5}[/inlmath] tvrđenje važi za svako [inlmath]n[/inlmath]. Ako je [inlmath]ε<\frac{4}{5}[/inlmath], onda je izraz pod korenom pozitivan...