Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Konvergencija niza

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Konvergencija niza

Postod StefanosDrag » Subota, 18. Septembar 2021, 21:46

Pokušavam da dokažem da je
[dispmath]\lim\frac{n^2}{n^2+4}=1,[/dispmath] koristeći činjenicu da niz [inlmath]a_n[/inlmath] konvergira ka realnom broju [inlmath]a[/inlmath] ako za sve [inlmath]\varepsilon>0[/inlmath] postoji [inlmath]N[/inlmath] ([inlmath]N_\varepsilon[/inlmath]) takav da kad god je [inlmath]n>N[/inlmath] imamo da je [inlmath]|a_n-a|<\varepsilon[/inlmath].

Ovako sam pristupio zadatku:
Po definiciji, znamo da [inlmath]\left|\frac{n^2}{n^2+4}-1\right|<\varepsilon[/inlmath]. Odnosno, [inlmath]\left|\frac{n^2}{n^2+4}-\frac{n^2+4}{n^2+4}\right|<\varepsilon[/inlmath], odakle dobijamo da je [inlmath]\left|-\frac{4}{n^2+4}\right|<\varepsilon[/inlmath]. Na osnovu definicije o apsolutnim vrednostima, ovo možemo da napišemo kao [inlmath]-\left(-\frac{4}{n^2+4}\right)<\varepsilon[/inlmath], odakle sledi [inlmath]\frac{4}{n^2+4}<\varepsilon[/inlmath]. Ovde sam zatim nastavio sa računanjem sve dok nisam stigao do dela da je [inlmath]n>\sqrt{\frac{4}{\varepsilon}-4}[/inlmath] i [inlmath]N_\varepsilon=\sqrt{\frac{4}{\varepsilon}-4}[/inlmath]. Shvatio sam da izraz pod korenom može biti negativan, pa sam zastao jer nisam znao šta da radim.

Pročitao sam na internetu da postoji način da se nekako zaobiđe ta situacija. Naime, prvo što bi trebalo jeste da primetim da je [inlmath]\frac{4}{n^2+4}<\frac{4}{n^2}[/inlmath]. Dakle, ako je [inlmath]\varepsilon>\frac{4}{n^2}[/inlmath], onda znamo da je [inlmath]\varepsilon>\frac{4}{n^2+4}[/inlmath]. U tom slučaju dobijam da je [inlmath]n^2>\frac{4}{\varepsilon}[/inlmath], odnosno da je [inlmath]n>\frac{2}{\sqrt{\varepsilon}}[/inlmath]. Dakle, [inlmath]N_\varepsilon=\frac{2}{\sqrt{\varepsilon}}[/inlmath].

Zanima me da li je moguće ,,zaobići" situaciju u kojoj moram da se brinem o negativnom rezultatu ispod kvadratnog korena, kao i da li je način na koji se to može zaobići, a koji sam pronašao na internetu, pravilan.
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 25 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Konvergencija niza

Postod mndr1 » Nedelja, 19. Septembar 2021, 15:48

Ne znam koristiti LaTeX pa koristim UNICIDE.

Nadam se da ćeš razumjeti šta je napisano.

Uprostiš izraz tako da podijeliš imenik i imenilac sa [inlmath]n^2[/inlmath]
[dispmath]\frac{n^2}{n^2-4}=\frac{\frac{n^2}{n^2}}{\frac{n^2-4}{n^2}}=\frac{1}{1-\frac{4}{n^2}}[/dispmath] Pa je:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2-4}=\\
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1-\frac{4}{n^2}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{4}{n^2}\right)}[/dispmath] Sada trebaš dokazati da je:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{4}{n^2}\right)=1[/dispmath] Nadam se da dalje možeš sam.
Poslednji put menjao Daniel dana Utorak, 21. Septembar 2021, 01:42, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latexa – tačka 13. Pravilnika
mndr1  OFFLINE
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Konvergencija niza

Postod Fare » Četvrtak, 23. Septembar 2021, 21:46

Iz dela [inlmath]\frac{4}{n^2+4}<\varepsilon[/inlmath] može se zaključiti da je svako [inlmath]n[/inlmath] važi da je [inlmath]\frac{4}{n^2+4}≤\frac{4}{5}[/inlmath]. Dakle, ako je [inlmath]ε≥\frac{4}{5}[/inlmath] tvrđenje važi za svako [inlmath]n[/inlmath]. Ako je [inlmath]ε<\frac{4}{5}[/inlmath], onda je izraz pod korenom pozitivan...
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 12 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 30. Novembar 2021, 16:52 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs