Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Opsti clan niza

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Opsti clan niza

Postod kagejama02 » Sreda, 20. Oktobar 2021, 00:00

Prvo zeleo bih da se zahvalim celoj ekipi sa foruma koja mi pomogla da upisem faks ove godine!!! Sad krece prava matematika i evo prvog zadatka oko kog mi treba pomoc...

Neka je [inlmath]a_1=4[/inlmath], [inlmath]a_2=12[/inlmath] i neka za sve [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] vazi [inlmath]a_{n+2}=4(a_{n+1}-a_n)[/inlmath]. Dokazati da je tada [inlmath]a_n=(n+1)2^n[/inlmath], za sve [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath].

Konkretno nisam pokusavao ovo, jer nisam ispratio kako funkcionise dokazivanje ovakvih zadataka, pa bi mi svaka pomoc bila korisna...
起死回生 - “Wake from death and return to life”
Korisnikov avatar
 
Postovi: 22
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Opsti clan niza

Postod Daniel » Sreda, 20. Oktobar 2021, 00:59

Čestitke za faks i nek je sa srećom! :) :text-bravo:

Ovo radiš pomoću linearne diferencne jednačine. Pogledaj ovaj post. U tvom zadatku je donekle drugačije, po tome što dobiješ homogenu jednačinu (što je jednostavniji slučaj od nehomogene) i po tome što su rešenja homogene jednačine međusobno jednaka ([inlmath]\lambda_1=\lambda_2[/inlmath]) te se rešenje računa po formuli [inlmath]f_H(n)=A_1\lambda_1^n+A_2n\lambda_2^n[/inlmath]. Sve ostalo je isto kao u linkovanom postu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Opsti clan niza

Postod kagejama02 » Sreda, 20. Oktobar 2021, 12:09

Hvala za odgovor, ali ja jos nisam radio ove formule, mi smo imali neki drugi nacin, sa uporedjivanjem leve i desne strane.

Mada svakako se opet nisam snasao...
起死回生 - “Wake from death and return to life”
Korisnikov avatar
 
Postovi: 22
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Opsti clan niza

Postod Daniel » Sreda, 20. Oktobar 2021, 12:22

Onda priloži taj vaš način, ne bilo ti teško, kako bismo ga mogli prokomentarisati...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Opsti clan niza

Postod kagejama02 » Sreda, 20. Oktobar 2021, 13:01

Evo tog primera...

Dokazati da za sve prirodne brojeve vazi [inlmath]F_{(n)}:\;1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}[/inlmath]

Ovo je prvi korak diskucije

[inlmath](1)[/inlmath]
[inlmath]L[/inlmath] - Levi deo izraza
[inlmath]D[/inlmath] - Desni deo izraza
[dispmath]F_{(1)}:\\
L=1\\
D=\frac{1(1+1)}{2}=1[/dispmath] sledi: [inlmath]L=D[/inlmath] pa vazi [inlmath]F_{(1)}[/inlmath]

[inlmath](2)[/inlmath] preko indukcijske hipoteze pretpostavimo da vazi [inlmath]F_{(n)}\;\Longrightarrow\;F_{(n+1)}[/inlmath]

to jest
[dispmath]1+2+3+\cdots+n+n+1=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\\
L:\;1+2+3+\cdots+n+n+1=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=(n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}[/dispmath] sledi da tvrdjenje vazi [inlmath]\forall n\in\mathbb{N}[/inlmath]

Ovo su neki dokazi, ali sam stvarno slab sa tumacenjem istih...
起死回生 - “Wake from death and return to life”
Korisnikov avatar
 
Postovi: 22
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Opsti clan niza

Postod Daniel » Sreda, 20. Oktobar 2021, 18:10

Nisi morao sve ovo pisati, bilo bi sasvim dovoljno samo da si rekao da zadatak treba rešiti pomoću indukcije... :) To je vrlo bitan podatak.

Jesi li upoznat s principom matematičke indukcije? Ako nisi, možeš u pretragu foruma kucati „indukcija“ (ili neki od padeža), imali smo dosta takvih zadataka u kojima je princip detaljno objašnjen.

Možda te u ovom zadatku buni to, što u odnosu na „standardnu“ indukciju, kod koje iz [inlmath]F_{(n)}[/inlmath] treba dokazati [inlmath]F_{(n+1)}[/inlmath], ovde treba iz [inlmath]F_{(n)}[/inlmath] i [inlmath]F_{(n+1)}[/inlmath] dokazati [inlmath]F_{(n+2)}[/inlmath]. Tada će automatski tvrdnja biti dokazana, jer to znači i da iz [inlmath]F_{(n+1)}[/inlmath] i [inlmath]F_{(n+2)}[/inlmath] sledi [inlmath]F_{(n+3)}[/inlmath], zatim iz [inlmath]F_{(n+2)}[/inlmath] i [inlmath]F_{(n+3)}[/inlmath] sledi [inlmath]F_{(n+4)}[/inlmath] i tako dalje se nastavlja domino-efekat.
Dakle, iz pretpostavke da važe prethodna dva koraka treba dokazati da važi i sledeći korak.

Dok je kod „standardne“ indukcije u bazi indukcije trebalo uvrstiti (najčešće) [inlmath]n=1[/inlmath] pa proveriti da li je jedanakost zadovoljena, ovde je neophodno to učiniti i za [inlmath]n=1[/inlmath] i za [inlmath]n=2[/inlmath]. Ovo ti verovatno nije problem da odradiš.

Dok se kod „standardne“ indukcije indukcijska pretpostavka odnosi na [inlmath]F_{(n)}[/inlmath], u ovom zadatku indukcijska pretpostavka obuhvata i [inlmath]F_{(n)}[/inlmath] i [inlmath]F_{(n+1)}[/inlmath]. Ovo je opravdano, jer smo već za [inlmath]F_{(1)}[/inlmath] i [inlmath]F_{(2)}[/inlmath], dakle, za dve uzastopne vrednosti [inlmath]n[/inlmath], dokazali da tvrđenje važi.

I, na kraju – korak indukcije. Dok kod „standardne“ indukcije imamo [inlmath]F_{(n)}\;\Longrightarrow\;F_{(n+1)}[/inlmath], ovde imamo [inlmath]F_{(n)}\;\land\;F_{(n+1)}\;\Longrightarrow\;F_{(n+2)}[/inlmath].
Znači, iz [inlmath]a_n=(n+1)2^n[/inlmath] i [inlmath]a_{n+1}=(n+2)2^{n+1}[/inlmath] treba dokazati da važi [inlmath]a_{n+2}=(n+3)2^{n+2}[/inlmath]. Mislim da je to sad trivijalno.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Opsti clan niza

Postod kagejama02 » Sreda, 20. Oktobar 2021, 22:43

Hvala legendo!!
[dispmath]4\cdot2^n\cdot(n+3)=4\cdot2^n\cdot(n+3)[/dispmath] ovo sam dobio, sto znaci da mi je L i D isto, samim tim potvrdjujemo jednakost!! za [inlmath]F_n\;\land\;F_{(n+1)}[/inlmath] i na kraju [inlmath]F_{(n+2)}[/inlmath]

jako mi je bitno da razumem ovo, mozda cu morati da branim kad tad... hvala jos jednom
起死回生 - “Wake from death and return to life”
Korisnikov avatar
 
Postovi: 22
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 1 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 29 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 10:34 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs