Nisi morao sve ovo pisati, bilo bi sasvim dovoljno samo da si rekao da zadatak treba rešiti pomoću indukcije...
To je vrlo bitan podatak.
Jesi li upoznat s principom matematičke indukcije? Ako nisi, možeš u pretragu foruma kucati „indukcija“ (ili neki od padeža), imali smo dosta takvih zadataka u kojima je princip detaljno objašnjen.
Možda te u ovom zadatku buni to, što u odnosu na „standardnu“ indukciju, kod koje iz [inlmath]F_{(n)}[/inlmath] treba dokazati [inlmath]F_{(n+1)}[/inlmath], ovde treba iz [inlmath]F_{(n)}[/inlmath] i [inlmath]F_{(n+1)}[/inlmath] dokazati [inlmath]F_{(n+2)}[/inlmath]. Tada će automatski tvrdnja biti dokazana, jer to znači i da iz [inlmath]F_{(n+1)}[/inlmath] i [inlmath]F_{(n+2)}[/inlmath] sledi [inlmath]F_{(n+3)}[/inlmath], zatim iz [inlmath]F_{(n+2)}[/inlmath] i [inlmath]F_{(n+3)}[/inlmath] sledi [inlmath]F_{(n+4)}[/inlmath] i tako dalje se nastavlja domino-efekat.
Dakle, iz pretpostavke da važe prethodna dva koraka treba dokazati da važi i sledeći korak.
Dok je kod „standardne“ indukcije u bazi indukcije trebalo uvrstiti (najčešće) [inlmath]n=1[/inlmath] pa proveriti da li je jedanakost zadovoljena, ovde je neophodno to učiniti i za [inlmath]n=1[/inlmath] i za [inlmath]n=2[/inlmath]. Ovo ti verovatno nije problem da odradiš.
Dok se kod „standardne“ indukcije indukcijska pretpostavka odnosi na [inlmath]F_{(n)}[/inlmath], u ovom zadatku indukcijska pretpostavka obuhvata i [inlmath]F_{(n)}[/inlmath] i [inlmath]F_{(n+1)}[/inlmath]. Ovo je opravdano, jer smo već za [inlmath]F_{(1)}[/inlmath] i [inlmath]F_{(2)}[/inlmath], dakle, za dve uzastopne vrednosti [inlmath]n[/inlmath], dokazali da tvrđenje važi.
I, na kraju – korak indukcije. Dok kod „standardne“ indukcije imamo [inlmath]F_{(n)}\;\Longrightarrow\;F_{(n+1)}[/inlmath], ovde imamo [inlmath]F_{(n)}\;\land\;F_{(n+1)}\;\Longrightarrow\;F_{(n+2)}[/inlmath].
Znači, iz [inlmath]a_n=(n+1)2^n[/inlmath] i [inlmath]a_{n+1}=(n+2)2^{n+1}[/inlmath] treba dokazati da važi [inlmath]a_{n+2}=(n+3)2^{n+2}[/inlmath]. Mislim da je to sad trivijalno.