Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Geometrijski redovi

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Geometrijski redovi

Postod StefanosDrag » Sreda, 27. Oktobar 2021, 00:51

Ćao svima! Interesuje me da li bi možda neko mogao da mi pomogne oko sledećeg zadatka?

Dokazati da je red [dispmath]\sum\limits_{n=0}^{\infty} {ar^{r}}[/dispmath] konvergentan ako i samo ako je [inlmath]|r|<1.[/inlmath] U dokazu smem da iskoristitim da je [inlmath]|b^{n}| \to 0[/inlmath] ako je [inlmath]|b|<1,[/inlmath] i da je [inlmath]|b^{n+1}|>|b^{n}|[/inlmath] ako je [inlmath]|b|>1.[/inlmath]

Zadatak sam započeo tako što sam prvo zapisao zbir prvih [inlmath]n[/inlmath] članova niza [inlmath](ar^{n})[/inlmath]: [dispmath]S_{n}=a+ar+ar^{2}+...+ar^{n-1}.[/dispmath] Zatim sam pomnožio obe strane jednakosti sa [inlmath]r[/inlmath], da bih dobio: [dispmath]rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n},[/dispmath] odakle imamo da je [inlmath]S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n}.[/inlmath] Dakle, [inlmath]S_{n}(1-r)=a(1-r^{n})[/inlmath] tako da dobijamo da je [inlmath]S_{n}=\frac{a}{1-r}(1-r^{n}).[/inlmath]

Kada je [inlmath]0<|r|<1,[/inlmath] onda sledi da [inlmath]r^{n} \to 0[/inlmath], tako da [dispmath]\lim S_{n}=\lim(\frac{a}{1-r}(1-r^{n}))=\frac{a}{1-r}(\lim(1-r^{n}))=\frac{a}{1-r}.[/dispmath] Dakle, geometrijski red je konvergentant ako i samo ako je [inlmath]|r|<1.[/inlmath]

Međutim, nisam siguran kako da uradim slučajeve kada je [inlmath]r=1[/inlmath] i kada je [inlmath]r \leq -1[/inlmath] ili [inlmath]r \geq 1[/inlmath], odnosno kada geometrijski red divergira.
Za slučaj kada je [inlmath]r=1,[/inlmath] primećujem da [dispmath]\sum\limits_{n=0}^{\infty} {ar^{r}}=a+a+a+a+a+...[/dispmath] ne konvergira ka nuli, ali nisam siguran da li ovo nekako mogu da iskoristim kako bih rešio ovaj slučaj.
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Geometrijski redovi

Postod ubavic » Petak, 29. Oktobar 2021, 11:01

Ako ti nije jasno zašto red divergira kada je [inlmath]|a| \ge 1[/inlmath], onda nisi mogao napisati ovu rečenicu.

StefanosDrag je napisao:Kada je [inlmath]0<|r|<1,[/inlmath] onda sledi da [inlmath]r^{n} \to 0[/inlmath], tako da [dispmath]\lim S_{n}=\lim(\frac{a}{1-r}(1-r^{n}))=\frac{a}{1-r}(\lim(1-r^{n}))=\frac{a}{1-r}.[/dispmath] Dakle, geometrijski red je konvergentan ako i samo ako je [inlmath]|r|<1.[/inlmath]


Sve što si dokazao prikazanim postupkom, jeste da ako [inlmath]|a|< 1[/inlmath] tada red konvergira.

U slučaju kada je [inlmath]|a|\ge 1[/inlmath], tada opšti član reda ne teži nuli, što je nophodan uslova da bi red konvergirao. Ipak, ako ti nije poznato ovo tvrđenje, možeš postupno analizirati slučajeve

  • Kada je [inlmath]a=1[/inlmath], tada ne možemo ponoviti opisani postupak sabiranja reda, jer bismo u jednom trenutku delili sa nulom ([inlmath]1-r[/inlmath]) Međutim, kao što si i primetio, tad red očigldeno ne konvergira (u pitasnju je aritmetrički red sa korakom [inlmath]a[/inlmath]).
  • U slučaju [inlmath]a=-1[/inlmath] parcijalne sume reda će alternirati između dve vrednosti ([inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]a[/inlmath]) pa i u ovom slučaju red ne konvergira.
  • U slučaju kada je [inlmath]|a|>1[/inlmath], možemo ponoviti postupak sabiranja reda. Međutim sada je
    [dispmath]\lim_{n\to\infty}S_n = \lim_{n\to\infty}a\frac{1-r^n}{1-r}=a\frac{\lim_{n\to\infty}(1-r^n)}{1-r}.[/dispmath] Kako limes [inlmath]\lim_{n\to\infty}(1-r^n)[/inlmath] ne postoji, ne postoji ni limes [inlmath]\lim_{n\to\infty} S_n[/inlmath].
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 622
Zahvalio se: 384 puta
Pohvaljen: 639 puta


Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Bing [Bot] i 3 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 25. Februar 2024, 03:44 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs