Ćao svima! Interesuje me da li bi možda neko mogao da mi pomogne oko sledećeg zadatka?
Dokazati da je red [dispmath]\sum\limits_{n=0}^{\infty} {ar^{r}}[/dispmath] konvergentan ako i samo ako je [inlmath]|r|<1.[/inlmath] U dokazu smem da iskoristitim da je [inlmath]|b^{n}| \to 0[/inlmath] ako je [inlmath]|b|<1,[/inlmath] i da je [inlmath]|b^{n+1}|>|b^{n}|[/inlmath] ako je [inlmath]|b|>1.[/inlmath]
Zadatak sam započeo tako što sam prvo zapisao zbir prvih [inlmath]n[/inlmath] članova niza [inlmath](ar^{n})[/inlmath]: [dispmath]S_{n}=a+ar+ar^{2}+...+ar^{n-1}.[/dispmath] Zatim sam pomnožio obe strane jednakosti sa [inlmath]r[/inlmath], da bih dobio: [dispmath]rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n},[/dispmath] odakle imamo da je [inlmath]S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n}.[/inlmath] Dakle, [inlmath]S_{n}(1-r)=a(1-r^{n})[/inlmath] tako da dobijamo da je [inlmath]S_{n}=\frac{a}{1-r}(1-r^{n}).[/inlmath]
Kada je [inlmath]0<|r|<1,[/inlmath] onda sledi da [inlmath]r^{n} \to 0[/inlmath], tako da [dispmath]\lim S_{n}=\lim(\frac{a}{1-r}(1-r^{n}))=\frac{a}{1-r}(\lim(1-r^{n}))=\frac{a}{1-r}.[/dispmath] Dakle, geometrijski red je konvergentant ako i samo ako je [inlmath]|r|<1.[/inlmath]
Međutim, nisam siguran kako da uradim slučajeve kada je [inlmath]r=1[/inlmath] i kada je [inlmath]r \leq -1[/inlmath] ili [inlmath]r \geq 1[/inlmath], odnosno kada geometrijski red divergira.
Za slučaj kada je [inlmath]r=1,[/inlmath] primećujem da [dispmath]\sum\limits_{n=0}^{\infty} {ar^{r}}=a+a+a+a+a+...[/dispmath] ne konvergira ka nuli, ali nisam siguran da li ovo nekako mogu da iskoristim kako bih rešio ovaj slučaj.