Algebarsko Svojstvo
Poslato: Sreda, 01. Decembar 2021, 00:55
Neka su funkcije [inlmath]f[/inlmath] i [inlmath]g[/inlmath] definisane u domenu [inlmath]A\subseteq \mathbb{R}[/inlmath]. Pretpostavimo da je [inlmath]\lim\limits_{x\to c}{f(x)}=L[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to c}{g(x)}=M[/inlmath] za neku tačku nagomilavanja (eng: limit point) skupa [inlmath]A.[/inlmath] Tada je:
(i) [inlmath]\lim\limits_{x\to c}{kf(x)}=kL[/inlmath] za sve realne brojeve [inlmath]k[/inlmath]
(ii) [inlmath]\lim\limits_{x\to c}{[f(x)+g(x)]}=L+M.[/inlmath]
Dokazati (i) i (ii).
Moj rad:
(i) Neka je [inlmath]\epsilon > 0[/inlmath] proizvoljno. Mi treba da pokažemo da postoji [inlmath]\delta[/inlmath] takva da [inlmath]0 < |x - c| < \delta[/inlmath] implicira [inlmath]|kf(x) - kL| < \epsilon[/inlmath]. Zatim sam primetio da je [inlmath]|kf(x) - kL| = |k(f(x) - L| = k|f(x) - L|,[/inlmath] odakle dobijam da je [inlmath]|f(x) - L| < \frac{\epsilon}{k}.[/inlmath] Međutim, nisam siguran da li uopšte treba ovako da se radi...
(ii) Neka je [inlmath]\epsilon > 0[/inlmath] proizvoljno. Treba da pokažemo da postoji [inlmath]\delta[/inlmath] takva da [inlmath]0 < |x - c| < \delta[/inlmath] implicira [inlmath]|(f(x) + g(x)) - (L + M)| < \epsilon.[/inlmath] Primetimo da je [inlmath]|(f(x) + g(x)) - (L + M)| = |(f(x) - L) + (g(x) - M)| \leq |f(x) - L| + |g(x) - M|.[/inlmath]
Pošto je [inlmath]\lim\limits_{x\to c}{f(x)}=L[/inlmath], znamo da postoji [inlmath]\delta_{1}[/inlmath] takva da [inlmath]0 < |x - c| < \delta_{1}[/inlmath] implicira [inlmath]|f(x) - L| < \frac{\epsilon}{2}.[/inlmath] Takođe, pošto je [inlmath]\lim\limits_{x\to c}{g(x)}=M,[/inlmath] znamo da postoji [inlmath]\delta_{2}[/inlmath] takva da [inlmath]0 < |x - c| < \delta_{2}[/inlmath] implicira [inlmath]|g(x) - M| < \frac{\epsilon}{2}.[/inlmath]
Neka je [inlmath]\delta_{0} = min{\ \delta_{1}, \delta_{2}}.[/inlmath] Tada, [inlmath]0 < |x - c| < \delta_{0}[/inlmath] implicira da [inlmath]|(f(x) + g(x)) - (L + M)| \leq |f(x) - L| + |g(x) - M| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon.[/inlmath]
(i) [inlmath]\lim\limits_{x\to c}{kf(x)}=kL[/inlmath] za sve realne brojeve [inlmath]k[/inlmath]
(ii) [inlmath]\lim\limits_{x\to c}{[f(x)+g(x)]}=L+M.[/inlmath]
Dokazati (i) i (ii).
Moj rad:
(i) Neka je [inlmath]\epsilon > 0[/inlmath] proizvoljno. Mi treba da pokažemo da postoji [inlmath]\delta[/inlmath] takva da [inlmath]0 < |x - c| < \delta[/inlmath] implicira [inlmath]|kf(x) - kL| < \epsilon[/inlmath]. Zatim sam primetio da je [inlmath]|kf(x) - kL| = |k(f(x) - L| = k|f(x) - L|,[/inlmath] odakle dobijam da je [inlmath]|f(x) - L| < \frac{\epsilon}{k}.[/inlmath] Međutim, nisam siguran da li uopšte treba ovako da se radi...
(ii) Neka je [inlmath]\epsilon > 0[/inlmath] proizvoljno. Treba da pokažemo da postoji [inlmath]\delta[/inlmath] takva da [inlmath]0 < |x - c| < \delta[/inlmath] implicira [inlmath]|(f(x) + g(x)) - (L + M)| < \epsilon.[/inlmath] Primetimo da je [inlmath]|(f(x) + g(x)) - (L + M)| = |(f(x) - L) + (g(x) - M)| \leq |f(x) - L| + |g(x) - M|.[/inlmath]
Pošto je [inlmath]\lim\limits_{x\to c}{f(x)}=L[/inlmath], znamo da postoji [inlmath]\delta_{1}[/inlmath] takva da [inlmath]0 < |x - c| < \delta_{1}[/inlmath] implicira [inlmath]|f(x) - L| < \frac{\epsilon}{2}.[/inlmath] Takođe, pošto je [inlmath]\lim\limits_{x\to c}{g(x)}=M,[/inlmath] znamo da postoji [inlmath]\delta_{2}[/inlmath] takva da [inlmath]0 < |x - c| < \delta_{2}[/inlmath] implicira [inlmath]|g(x) - M| < \frac{\epsilon}{2}.[/inlmath]
Neka je [inlmath]\delta_{0} = min{\ \delta_{1}, \delta_{2}}.[/inlmath] Tada, [inlmath]0 < |x - c| < \delta_{0}[/inlmath] implicira da [inlmath]|(f(x) + g(x)) - (L + M)| \leq |f(x) - L| + |g(x) - M| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon.[/inlmath]