Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Dokazati nejednakost – matematicka indukcija

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Dokazati nejednakost – matematicka indukcija

Postod nikolajovanovicc » Sreda, 12. April 2023, 19:48

Pozdrav svima, upravo resavam zadatke iz matematicke indukcije i naleteo sam na zadatke koji mi uopste nisu jasni. Zadatak glasi: Dokazati da za prirodne brojeve [inlmath]n[/inlmath] vaze nejednakosti
[dispmath]\frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\cdots+\frac{1}{\sqrt n}>\sqrt n[/dispmath] nejednakost vazi za svako [inlmath]n\ge2[/inlmath]

Prva dva koraka su mi jasna. U prvom koraku imamo [inlmath]P(2)[/inlmath] ili ti [inlmath]n=2[/inlmath].
U drugom koraku imamo pretpostavku da je [inlmath]n=k[/inlmath]. Te ćemo imati:
[dispmath]\frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\cdots+\frac{1}{\sqrt k}>\sqrt k[/dispmath] Medjutim treci korak mi nije jasan. U zbirkama i na mnogim sajtovima sam video da se na obe strane dodaje sledbenik cinioca koji se nalazi na levoj strani. U ovom primeru to bi bilo
[dispmath]\frac{1}{\sqrt{k+1}}[/dispmath] Moje pitanje je, da li postoji neki princip po kome se radi ovi tipovi zadataka? Takodje, kako na dalje mogu rešavati ove tipove zadataka?

P.S.: izvinjavam se ako sam lose upotrebio latex, jos uvek se snalazim.
 
Postovi: 21
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 7 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Dokazati nejednakost – matematicka indukcija

Postod Fare » Četvrtak, 13. April 2023, 10:58

Tvrđenje [inlmath]P(n)[/inlmath] glasi : [inlmath]\frac{1}{\sqrt 1}+ \frac{1}{\sqrt 2}+ \ldots + \frac{1}{\sqrt n} > \sqrt n[/inlmath]
Da te ispravim:
"U drugom koraku imamo pretpostavku da je [inlmath]n=k[/inlmath].“

Nije pretpostavka da je [inlmath]n=k[/inlmath]. Pretpostavka je da za [inlmath]n=k[/inlmath] tačno tvrđenje [inlmath]P(k)[/inlmath], tj. da je tačna nejednakost
[dispmath]\frac{1}{\sqrt 1}+ \frac{1}{\sqrt 2}+ \ldots + \frac{1}{\sqrt k} > \sqrt k[/dispmath]Bilo bi dobro da priložiš: kako ti glasi tvrđenje [inlmath]P(2)[/inlmath] i kako si dokazao prvi korak indukcije; kako glasi tvrđenje [inlmath]P(3)[/inlmath] ? (bez dokaza)
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 110
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 143 puta

Re: Dokazati nejednakost – matematicka indukcija

Postod nikolajovanovicc » Četvrtak, 13. April 2023, 14:15

U redu. Za [inlmath]P(2)[/inlmath] imacemo:
[dispmath]\frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}>\sqrt2[/dispmath][dispmath]\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2}>\frac{2}{\sqrt2}[/dispmath] Odavde je ocigledno da je leva strana veca od desne.
ovim je prvi korak, odnosno [inlmath]P(2)[/inlmath], zavrsen.

Fare je napisao:Bilo bi dobro da priložiš: kako ti glasi tvrđenje [inlmath]P(2)[/inlmath] i kako si dokazao prvi korak indukcije; kako glasi tvrđenje [inlmath]P(3)[/inlmath] ? (bez dokaza)

Pod ovim [inlmath]P(3)[/inlmath] verujem da podrazumevas treći korak.

Za [inlmath]P(k+1)[/inlmath] imacemo:
[dispmath]\frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\cdots+\frac{1}{\sqrt k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt k+\frac{1}{\sqrt{k+1}}[/dispmath] Ovo je jedino sto znam da uradim u 3. koraku, ali ni sam ne znam zasto se ovo ovako radi. :kojik:
 
Postovi: 21
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 7 puta

  • +1

Re: Dokazati nejednakost – matematicka indukcija

Postod Fare » Četvrtak, 13. April 2023, 14:45

[inlmath]P(3)[/inlmath] nije treći korak indukcije, nego tvrđenje [inlmath]P[/inlmath] za [inlmath]n=3[/inlmath], a ono glasi:
[dispmath]\frac{1}{\sqrt 1}+ \frac{1}{\sqrt 2}+ \frac{1}{\sqrt 3} > \sqrt 3[/dispmath] Da li znaš da napišeš to tvrđenje za [inlmath]n=k+1[/inlmath], tj. [inlmath]P(k+1)[/inlmath]?
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 110
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 143 puta

Re: Dokazati nejednakost – matematicka indukcija

Postod nikolajovanovicc » Četvrtak, 13. April 2023, 15:34

ne znam. to sam i pitao u prvom postu. Jer ne znam koji se princip primenjuje
 
Postovi: 21
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 7 puta

Re: Dokazati nejednakost – matematicka indukcija

Postod Fare » Četvrtak, 13. April 2023, 15:49

Tvrđenje [inlmath]P(4)[/inlmath] je [dispmath]\frac{1}{\sqrt 1}+ \frac{1}{\sqrt 2}+ \frac{1}{\sqrt 3}+ \frac{1}{\sqrt 4} > \sqrt 4[/dispmath]Tvrđenje [inlmath]P(5)[/inlmath] je [dispmath]\frac{1}{\sqrt 1}+ \frac{1}{\sqrt 2}+ \frac{1}{\sqrt 3}+ \frac{1}{\sqrt 4}+ \frac{1}{\sqrt 5} > \sqrt 5[/dispmath][dispmath]\ldots[/dispmath]Tvrđenje [inlmath]P(k)[/inlmath] je [dispmath]\frac{1}{\sqrt 1}+ \frac{1}{\sqrt 2}+ \frac{1}{\sqrt 3}+ \ldots+ \frac{1}{\sqrt k} > \sqrt k[/dispmath]Tvrđenje [inlmath]P(k+1)[/inlmath] je [dispmath]\frac{1}{\sqrt 1}+ \frac{1}{\sqrt 2}+ \ldots+ \frac{1}{\sqrt k}+ \frac{1}{\sqrt {k+1}} > \sqrt {k+1}[/dispmath] i to je ono što treba dokazati, koristeći pretpotstavku [inlmath]P(k)[/inlmath] kao tačno tvrđenje (tačan iskaz).
Nadam se da sam sada bio jasniji. Da li bi sada znao da izvedeš treći korak indukcije (induktivni dokaz)?
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 110
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 143 puta

Re: Dokazati nejednakost – matematicka indukcija

Postod nikolajovanovicc » Četvrtak, 13. April 2023, 15:58

Ne bih znao. Imam takodje jos jedno pitanje. Zasto bismo radili [inlmath]P(3)[/inlmath], [inlmath]P(4)[/inlmath] i [inlmath]P(5)[/inlmath], ukoliko nam je u zadatku dato da ova nejednakost vazi za svako [inlmath]n[/inlmath] vece od [inlmath]2[/inlmath]? Treci korak ne bih znao da izvedem, jer ne uvidjam nikakvu vezu niti znam princip po kom bi trebao da dokazem da ova nejednakost vazi.
 
Postovi: 21
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 7 puta

Re: Dokazati nejednakost – matematicka indukcija

Postod Fare » Četvrtak, 13. April 2023, 16:16

Naravno da, u ovom zadatku, nije potrebno dokazivati [inlmath]P(3), P(4), P(5)[/inlmath]. Prikazao sam ih kako bi zaključio kako treba da glasi [inlmath]P(k+1)[/inlmath].
Dakle, treba dokazati da je [dispmath]\frac{1}{\sqrt 1}+ \frac{1}{\sqrt 2}+ \ldots+ \frac{1}{\sqrt k}+ \frac{1}{\sqrt {k+1}} > \sqrt {k+1}[/dispmath]Jedan od načina je sledeći; kreni od leve strane:[dispmath]\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>[/dispmath][dispmath]>\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}=\frac{k}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>[/dispmath][dispmath]>\frac{k}{\sqrt{k+1}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}=\frac{k+1}{\sqrt{k+1}}={\sqrt{k+1}}[/dispmath]U prvom koraku iskorišćena je pretpostavka [inlmath]P(k)[/inlmath], a u narednom da je [inlmath]\frac{k}{\sqrt{k}}>\frac{k}{\sqrt{k+1}}[/inlmath].
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 110
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 143 puta

Re: Dokazati nejednakost – matematicka indukcija

Postod nikolajovanovicc » Četvrtak, 13. April 2023, 16:27

Sada mi je jasno. Hvala ti puno na izdvojenom vremenu da mi pojasnis zadatak!
 
Postovi: 21
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 7 puta

Re: Dokazati nejednakost – matematicka indukcija

Postod miletrans » Subota, 15. April 2023, 16:55

Dodao bih još jedan način rešavanja ovog zadatka. Kao što je Fare napisao, na osnovu induktivne pretpostavke;
[dispmath]\frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\cdots+\frac{1}{\sqrt k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt k+\frac{1}{\sqrt{k+1}}[/dispmath] možemo sve sabirke sa leve strane osim poslednjeg da zamenimo sa [inlmath]\sqrt k[/inlmath]. Tada poslednji korak indukcije postaje:
[dispmath]\sqrt k+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}[/dispmath] Mislim da sad nije problem ovo dokazati.

Napominjem da je rešenje koje je Fare napisao potpuno tačno, samo dodajem način koji nekome može da bude lakši
Globalni moderator
 
Postovi: 601
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 692 puta

Sledeća

Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: nikolajovanovicc i 41 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 20:35 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs