Zadatak:
Odnos poslednjeg i srednjeg člana geometrijske progresije [inlmath]a_1,a_2,\ldots,a_{2010},a_{2011}[/inlmath] jednak je [inlmath]8^{335}[/inlmath]. Ako je [inlmath]q[/inlmath] količnik te progresije, tada je zbir [inlmath]1+q+q^2+\cdots+q^{2011}[/inlmath] jednak.
Evo mog postupka, koji ne daje dobro rešenje:
Srednji član bi bio [inlmath]1006[/inlmath], zar ne? Išao sam logikom [inlmath]1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11[/inlmath], gde broj [inlmath]6[/inlmath] predstavlja sredinu, jer sa obe strane ima jednak broj brojeva.
Dakle,
[dispmath]\frac{q^{2011}}{q^{1006}}=8^{335}\\
q^{2011-1006}=2^{3\cdot335}\\
q^\cancel{1005}=2^\cancel{1005}\\
q=2[/dispmath] Zatim koristimo formulu za sumu članova geomterijskog niza:
[inlmath]S=b_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}[/inlmath], gde je [inlmath]b_1[/inlmath], prvi član niza
[dispmath]S=1\cdot\frac{1-2^{2011}}{1-2}\\
S=\frac{1-2^{2011}}{-1}\\
S=2^{2011}-1[/dispmath] U rešenju piše: [inlmath]S=2^{2012}-1[/inlmath], pa mi nije jasno gde sam napravio tu sitnu grešku.