MATEMANIJA

jel moze objasnjenje sta je tacka nagomilavanja niza i kako se do nje dolazi, trazio sam po netu, ali su mi te definicije nejasne hvala

Nešto o tome sam davno pisao u ovom postu. Tačka nagomilavanja je, dakle, onaj realan broj u čijoj se svakoj, koliko god hoćeš maloj okolini, nalazi beskonačno mnogo članova nekog niza. Pri tome, sama tačka nagomilavanja može, ali i ne mora, biti član tog niza. Možeš to posmatrati i ovako. Koliko god da „sužavaš obruč“ (tj. smanjuješ interval) oko tačke nagomilavanja, nikad taj obruč ne možeš suziti toliko da unutar njega ne bude beskonačno članova niza.

Posmatrajmo to na primeru niza [inlmath]a_n=\frac{1}{n}[/inlmath]. Kako [inlmath]n[/inlmath] raste, vrednost razlomka [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] postaje sve bliža nuli, ali nikada, ni za jedno [inlmath]n[/inlmath], ne dostiže nulu. To znači da nula, iako nije član tog niza, predstavlja tačku nagomilavanja tog niza. Ne možeš naći nijednu desnu okolinu nule u kojoj neće biti beskonačno mnogo članova niza [inlmath]a_n=\frac{1}{n}[/inlmath]. Reci mi bilo koji, koliko god hoćeš mali broj, pa ti ja mogu do sutra nabrajati članove ovog niza koji su između nule i tog malog broja koji si zamislio. Npr. kažeš mi broj [inlmath]0,001[/inlmath], a ja ti kažem, između nule i [inlmath]0,001[/inlmath] nalaze se članovi niza [inlmath]\frac{1}{10\:000}[/inlmath], [inlmath]\frac{1}{100\:000}[/inlmath], [inlmath]\frac{1}{1\:000\:000}[/inlmath] itd.

To je bio primer tačke nagomilavanja u čijoj se desnoj okolini nalazi beskonačno mnogo članova niza. Primer tačke nagomilavanja u čije se obe okoline nalazi beskonačno mnogo članova niza (a sama ta tačka nije član niza) bila bi tačka nula za niz [inlmath]a_n=(-1)^n\frac{1}{n}[/inlmath]. Znači, članovi ovog niza naizmenično jedan u odnosu na drugi menjaju predznak i samim tim se naizmenično raspoređuju unutar leve, odnosno unutar desne okoline tačke nagomilavanja.

Primer tačke nagomilavanja koja pripada nizu bila bi, recimo, jedinica za niz [inlmath]a_n=1[/inlmath]. Sama tačka nagomilavanja u ovom slučaju predstavlja vrednost beskonačno mnogo članova tog niza, dok u samoj okolini te tačke ne uključujući tu tačku, nemamo nijedan član niza.
Niz [inlmath]a_n=(-1)^n[/inlmath] imao bi dve tačke nagomilavanja – tačku [inlmath]-1[/inlmath] i tačku [inlmath]1[/inlmath].

Zanimljive su i definicije tačke nagomilavanja od strane Vukajlije.

ahm, ali koja je onda razlika izmedju granicne vrednosti niza i tacke nagomilavanja, s tim naravno da niz moze imati samo jednu granicnu vrednost, a tacki nagomilavanja moze biti vise? i jel onda granicna vrednost isto sto i tacka nagomilavanja, u slucaju da postoji samo jedna tacka nagomilavanja?

da da video sam te clanke DD

jovica je napisao:ahm, ali koja je onda razlika izmedju granicne vrednosti niza i tacke nagomilavanja, s tim naravno da niz moze imati samo jednu granicnu vrednost, a tacki nagomilavanja moze biti vise?

Striktna definicija granične vrednosti niza bila bi:

[inlmath]a[/inlmath] je granična vrednost niza [inlmath]x_n[/inlmath] ako važi:
[dispmath]\left(\forall\varepsilon>0\right)\left(\exists n_0\in\mathbb{N}\right)\left(\forall n\ge n_0\right)\:\left|x_n-a\right|<\varepsilon[/dispmath]
Pokušaću da ovako rogobatno napisanu definiciju interpretiram što je moguće jednostavnije.
[inlmath]a[/inlmath] je granična vrednost niza [inlmath]x_n[/inlmath] kada se, počev od nekog određenog člana niza [inlmath]x_{n_0}[/inlmath] pa nadalje, svi naredni članovi tog niza nalaze unutar bilo kog unapred zadatog intervala [inlmath]\left(a-\varepsilon,a+\varepsilon\right)[/inlmath].
To znači, ti mi zadaš neku koliko god hoćeš malu okolinu tačke [inlmath]a[/inlmath], npr. [inlmath]\left(a-0,001,a+0,001\right)[/inlmath], a ja ti i za tako malu okolinu nađem neki član niza, npr. [inlmath]154.[/inlmath] član niza, počev od kojeg će svi članovi tog niza biti unutar tog intervala – znači, [inlmath]154., 155.,\ldots ,73485.[/inlmath] član itd., svi će oni biti unutar tog intervala koji si mi zadao. Zadaš mi zatim neki još manji interval, ja ću ti opet naći neki član niza, npr. lupam, [inlmath]274.[/inlmath] član, počev od kojeg će svi biti unutar tog novog, još manjeg intervala. Kada ne možeš da mi zadaš nijedan dovoljno mali interval oko tačke [inlmath]a[/inlmath] takav da ja ne mogu da nađem član niza počev od kojeg pa nadalje će svi biti unutar tog intervala, e to je onda granična vrednost tog niza. Nadam se da sam ovime uspeo ono čudovište od formulacije makar malo da pojasnim.

jovica je napisao:i jel onda granicna vrednost isto sto i tacka nagomilavanja, u slucaju da postoji samo jedna tacka nagomilavanja?

Ako granična vrednost niza postoji, onda da. To sledi iz same definicije granične vrednosti niza (napisane iznad), jer iz te definicije zaključujemo da se u svakoj maloj okolini granične vrednosti nalazi beskonačno mnogo članova niza, dok je izvan te okoline broj članova niza konačan.
Međutim, evo ti primer niza koji ima samo jednu tačku nagomilavanja, ali nema graničnu vrednost (tj. divergira):
[dispmath]x_n=\begin{cases}
5+\frac{1}{n}, & n\mbox{ neparno}\\
\\
n, & n\mbox{ nparno}
\end{cases}[/dispmath]
Taj niz će imati samo jednu tačku nagomilavanja, tačku [inlmath]5[/inlmath]. U njenoj desnoj okolini će se nagomilavati svi članovi niza čiji je redni broj neparan. Ali, to neće biti granična vrednost niza, budući da ne možemo naći dovoljno veliko [inlmath]n_0[/inlmath] počev od kojeg će se svi naredni članovi niza nalaziti unutar okoline tačke [inlmath]5[/inlmath] – oni s neparnim rednim brojevima hoće, ali oni s parnim rednim brojevima ne.

hvala, kod tog poslednjeg ne moze se reci da niz ima granicnu vrednost jer ne teze svi clanovi tog niza 5. , ali petica jeste tacka nagomilavanja jer njoj teze (tj u njenoj okolini) se ipak nalazi svaki drugi clan tog beskonacnog niza sto je isto beskonacni broj clanova DDD u mojoj slobodnoj interpretaciji

Interpretacija ti je sasvim tačna.

A ako bismo taj niz razdvojili na dva podniza, gde je prvi podniz [inlmath]a_1,a_3,a_5,\ldots[/inlmath] a drugi podniz [inlmath]a_2,a_4,a_6,\ldots[/inlmath], tada bismo mogli reći da prvi podniz (onaj s članovima glavnog niza koji su na neparnim mestima) ima graničnu vrednost [inlmath]5[/inlmath] (koja je, samim tim, i njegova jedina tačka nagomilavanja), dok drugi podniz (onaj s članovima glavnog niza koji su na parnim mestima) nema tačku nagomilavanja i divergira.

super, drago mi je da je tako mislio sam ja da je tako nesto jos od pocetka, ali me je ta definicijasa silnim znakovima pokolebala

Da, onako formalno napisani iskazi umeju da zbune, ali su, zapravo, savršeno logični. Znači:

Zadaš mi koliko god hoćeš malu okolinu tačke [inlmath]a[/inlmath]... [inlmath]\quad\longrightarrow\quad\forall\varepsilon>0[/inlmath]
... ja ti na to uvek mogu naći neki član niza... [inlmath]\quad\longrightarrow\quad\exists n_0\in\mathbb{N}[/inlmath]
... počev od kojeg će se svi naredni članovi niza... [inlmath]\quad\longrightarrow\quad\forall n\ge n_0[/inlmath]
... nalaziti unutar te okoline tačke [inlmath]a[/inlmath] koju si mi zadao. [inlmath]\quad\longrightarrow\quad\left|x_n-a\right|<\varepsilon[/inlmath]

Prema tome, formalan zapis je, kad se ovo sve objedini,
[dispmath]\left(\forall\varepsilon>0\right)\left(\exists n_0\in\mathbb{N}\right)\left(\forall n\ge n_0\right)\:\left|x_n-a\right|<\varepsilon[/dispmath]
Eto... sasvim logično.

da samo kad zna da se procita kako treba